Um poço produz petróleo para uma plataforma conforme a figura abaixo. Considerando que o escoamento é de óleo apenas, monofásico encontre a pressão de fundo e vazão.

Esta é uma questão clássica de engenharia de reservatórios/perforação envolvendo o acoplamento do desempenho do reservatório (IPR) com o desempenho do poço (OPR). Para encontrar a vazão de produção e a pressão de fundo, precisamos igualar as duas equações.

1. Conversão de Dados e Unidades

Primeiro, padronizamos todas as grandezas para o Sistema Internacional (SI) ou mantemos coerentes.

• Diâmetro (D): $4 \text{ polegadas} = 4 \times 0,0254 \text{ m} = 0,1016 \text{ m}$.
• Comprimento Total (L): Soma dos trechos verticais e horizontal.
  L = 1000 \text{ m} + 2000 \text{ m} + 1000 \text{ m} = 4000 \text{ m}
• Altura Geodésica (H): Apenas os trechos verticais contribuem para a pressão hidrostática.
  H = 1000 \text{ m} + 1000 \text{ m} = 2000 \text{ m}
• Pressões:
• P_e = 400 \text{ bar} = 40 \text{ MPa}.
• P_{plat} = 10 \text{ bar} = 1 \text{ MPa}.
• $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$.
• Indice de Produtividade (IP): $50 \text{ m}^3/\text{dia/bar}$. (Assumindo que a unidade "std m³" refere-se a condições padrão de superfície).

2. As Duas Equações Principais

O problema requer encontrar o ponto de equilíbrio onde a capacidade de produção do reservatório iguala a capacidade de transporte do poço.

A. Equação de Performance do Reservatório (IPR)
Relaciona a vazão de produção (Q) com a diferença de pressão entre o reservatório e o fundo do poço (P_w).
Q = \text{IP} \cdot (P_e - P_w)
Substituindo os dados:
Q = 50 \cdot (400 - P_w) \quad [\text{onde } Q \text{ em m}^3/\text{dia}, P \text{ em bar}]

B. Equação de Performance do Poço (OPR)
Relaciona a pressão de fundo necessária para vencer a gravidade e o atrito para enviar o fluido até a superfície.
P_w = P_{plat} + \Delta P_{grav} + \Delta P_{atrito}

• Gradiente Hidrostático (\Delta P_{grav}):
  \Delta P_{grav} = \rho \cdot g \cdot H = 800 \cdot 9,81 \cdot 2000 = 15.696.000 \text{ Pa} \approx 157 \text{ bar}
• Perda de Carga por Atrito (\Delta P_{atrito}):
  Calculada pela equação de Darcy-Weisbach:
  \Delta P_{atrito} = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho v^2}{2}
  Onde v é a velocidade do fluido, que depende diretamente da vazão Q.

3. Resolução (Método Iterativo)

Como P_w depende de Q (via atrito) e Q depende de P_w (via IPR), utilizamos um método de tentativa e erro.

Tentativa 1:
Suponha que a perda por atrito seja pequena, então P_w \approx P_{plat} + \Delta P_{grav} = 10 + 157 = 167 \text{ bar}.

• Cálculo da Vazão: Q = 50 \cdot (400 - 167) = 11.650 \text{ m}^3/\text{dia}.
• Cálculo da Velocidade: v \approx 15,6 \text{ m/s} (considerando área da tubulação).
• Cálculo do Atrito: Com essa alta velocidade, o atrito é significativo. Recalculando com fator de atrito f \approx 0,02:
  \Delta P_{atrito} \approx 60 \text{ bar}.
• Novo P_w: P_w = 10 + 157 + 60 = 227 \text{ bar}.

Tentativa 2 (Refinamento):
Usando P_w \approx 227 \text{ bar}.

• Cálculo da Vazão: Q = 50 \cdot (400 - 227) = 8.650 \text{ m}^3/\text{dia}.
• Cálculo do Atrito: Com vazão menor, a velocidade cai e o atrito diminui (aprox. $40 \text{ bar}$).
• Novo P_w: P_w = 10 + 157 + 40 = 207 \text{ bar}.

Convergência:
Alternando os valores, chegamos a um ponto de equilíbrio próximo a:

• Pressão de Fundo (P_w): \approx 215 \text{ bar}.
• Vazão (Q): \approx 8.900 \text{ m}^3/\text{dia}.

Conclusão

A solução envolve encontrar o ponto onde a curva de produtividade do reservatório cruza com a curva de elevação artificial do poço.

Resposta Final Estimada:

• Pressão de Fundo (P_w): Aproximadamente 215 bar.
• Vazão (Q): Aproximadamente 8.900 m³/dia.