Para o circuito, determine a potência média fornecida por cada fonte (V₁ e V₂) e a potência média absorvida por cada elemento (resistores e indutor).

Resolução da Questão

Para determinar as potências médias fornecidas pelas fontes e absorvidas pelos elementos, utilizaremos a Análise de Nós (Nodal), pois ela reduz o problema a uma única equação principal.

1. Determinação da Tensão no Nó Principal

Definimos o nó superior comum como V e o nó inferior como referência (terra, $0\text{ V}). Aplicamos a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) no nó $V, considerando que a soma das correntes que saem do nó é zero:

Multiplicamos toda a equação por 4 para facilitar os cálculos:

Sabendo que \frac{1}{j} = -j:

Isolando V:

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado (3 + j2):

2. Cálculo das Correntes e Potências

Assumimos que os fasores fornecidos representam amplitudes máximas (pico). A potência média é dada por P = \frac{1}{2} \text{Re}\{ \mathbf{V} \mathbf{I}^* \}.

A) Potência da Fonte de $24\text{ V}$

A corrente que sai da fonte é:
I_{24} = \frac{24 - V}{2} = 12 - \frac{14,77 + j1,85}{2} = 12 - (7,385 + j0,925)
I_{24} = 4,615 - j0,925 \text{ A}

Potência Complexa S_{24} = \frac{1}{2} \mathbf{V}_{24} \mathbf{I}_{24}^*:
S_{24} = \frac{1}{2} (24) (4,615 + j0,925) = 12(4,615 + j0,925) = 55,38 + j11,1 \text{ VA}
Potência Média Fornecida (P_{24}): $55,38 \text{ W}$

B) Potência da Fonte de $12\text{ V}$

A corrente que desce pelo ramo central é:
I_{12} = \frac{V - 12}{j2} = \frac{(14,77 + j1,85) - 12}{j2} = \frac{2,77 + j1,85}{j2}
I_{12} = \frac{2,77}{j2} + \frac{j1,85}{j2} = -j1,385 + 0,925 = 0,925 - j1,385 \text{ A}

A corrente que sai do terminal positivo da fonte é -I_{12} (pois I_{12} desce):
I_{saída} = -0,925 + j1,385 \text{ A}

Potência Complexa S_{12} = \frac{1}{2} \mathbf{V}_{12} \mathbf{I}_{saída}^*:
S_{12} = \frac{1}{2} (12) (-0,925 - j1,385) = 6(-0,925 - j1,385) = -5,55 - j8,31 \text{ VA}
Potência Média Fornecida (P_{12}): -5,55 \text{ W}
(Nota: O sinal negativo indica que a fonte de $12\text{ V}$ está absorvendo potência).

C) Potência nos Resistores

• Resistor de $2\,\Omega$:
  P_{2\Omega} = \frac{1}{2} |I_{24}|^2 R = \frac{1}{2} (4,615^2 + 0,925^2) \times 2 \approx \mathbf{22,15 \text{ W}}
• Resistor de $4\,\Omega$:
  Corrente I_{4\Omega} = \frac{V}{4} = 3,69 + j0,46 \text{ A}.
  P_{4\Omega} = \frac{1}{2} |I_{4\Omega}|^2 R = \frac{1}{2} (3,69^2 + 0,46^2) \times 4 \approx \mathbf{27,68 \text{ W}}

D) Potência no Indutor

Um indutor ideal armazena e libera energia, mas não dissipa potência ativa.
Potência Média Absorvida (P_L): \mathbf{0 \text{ W}}

Conclusão

Os resultados finais são:

• **Fonte $24\text{ V}:** Fornece $55,38 \text{ W}.
• **Fonte $12\text{ V}:** Fornece $-5,55 \text{ W} (Absorve $5,55 \text{ W}$).
• Resistor $2\,\Omega$: Absorve $22,15 \text{ W}$.
• Resistor $4\,\Omega$: Absorve $27,68 \text{ W}$.
• Indutor: Absorve $0 \text{ W}$.

(Verificação de balanço: $22,15 + 27,68 + 5,55 \approx 55,38 \text{ W}$. A potência fornecida iguala a potência absorvida).