O cálculo de vetores unitários permite a determinação de um vetor com a mesma direção e sentido de um outro vetor qualquer múltiplo deste vetor unitário. Esta ferramenta é utilizada para separar o módulo, ou amplitude, da direção e sentido de um vetor e simplifica as operações com grandezas vetoriais. Você precisa encontrar a direção e o sentido do vetor c resultante da operação entre os vetores M = -10𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 - 8𝑎𝑧 e N = 8𝑎𝑥 + 7𝑎𝑦 - 2𝑎𝑧. Sabendo que a operação necessária pode ser representada por -M - 2N, encontre o vetor unitário que representa esta operação.

Alternativa A

O problema solicita o cálculo do vetor unitário correspondente à combinação linear dos vetores dados pela expressão -M - 2N. Para resolver, primeiro calculamos o vetor resultante somando algebricamente seus componentes e, em seguida, dividimos esse vetor pelo seu módulo (magnitude) para obter o vetor unitário.

Desenvolvimento

1. Identificação dos Vetores Dados:
Os vetores fornecidos são:

• M = -10\mathbf{a}_x + 4\mathbf{a}_y - 8\mathbf{a}_z
• N = 8\mathbf{a}_x + 7\mathbf{a}_y - 2\mathbf{a}_z

2. Cálculo do Vetor Resultante (R):
A operação solicitada é -M - 2N. Vamos calcular componente a componente:

• Componente x:
  -(-10) - 2(8) = 10 - 16 = -6
• Componente y:
  -(4) - 2(7) = -4 - 14 = -18
• Componente z:
  -(-8) - 2(-2) = 8 + 4 = 12

Portanto, o vetor resultante é:
R = -6\mathbf{a}_x - 18\mathbf{a}_y + 12\mathbf{a}_z

3. Cálculo do Módulo do Vetor Resultante (|R|):
O módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
|R| = \sqrt{(-6)^2 + (-18)^2 + (12)^2}
|R| = \sqrt{36 + 324 + 144}
|R| = \sqrt{504} \approx 22,45

4. Determinação do Vetor Unitário (\hat{u}):
Dividimos cada componente de R pelo módulo |R|:

• u_x = \frac{-6}{22,45} \approx -0,267
• u_y = \frac{-18}{22,45} \approx -0,802 (aproximado como -0,801 nas opções por arredondamento/truncamento)
• u_z = \frac{12}{22,45} \approx 0,535 (aproximado como $0,534$ nas opções)

O vetor unitário aproximado é:
C \approx -0,267\mathbf{a}_x - 0,801\mathbf{a}_y + 0,534\mathbf{a}_z

Análise

• Operação Vetorial: A expressão -M - 2N inverte os sinais de M e multiplica N por -2 antes da soma. Isso gera as componentes (-6, -18, 12).
• Normalização: Dividir o vetor resultante pelo seu comprimento (\sqrt{504}) garante que o novo vetor tenha módulo igual a 1, mantendo a mesma direção e sentido.
• Comparação: O resultado obtido corresponde exatamente à alternativa A, considerando as casas decimais apresentadas na questão. As outras alternativas apresentam valores incorretos nas primeiras casas decimais (como -0,367 ou -0,901).

Alternativa A.