A lei dos Períodos estabelece uma relação matemática entre o período orbital (tempo que um planeta leva para completar uma volta ao redor do Sol) e a distância média desse planeta ao Sol. Com base no exposto apresentado, analise as asserções a seguir: T² = k * r³ O valor atribuído a k, constante que pode ser verificada nos dados da tabela a seguir, é igual para todos os planetas. Tabela: Planeta\Mercúrio\Vênus\Terra\Júpiter\Saturno\Urano\Netuno Período(a)\0,241\0,615\1,000\1,881\11,862\29,457\84,04\164,8 Distância(u.a.)\0,387\0,723\1,000\5,203\9,539\19,18\30,06

Análise da Questão

A questão aborda a Terceira Lei de Kepler, que descreve a relação entre o tempo de revolução de um planeta e sua distância ao Sol.

Alternativa A - A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II uma proposição falsa.

Desenvolvimento

A Terceira Lei de Kepler estabelece que o quadrado do período orbital (T) é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita (R), expressa pela fórmula:
T^2 = k \cdot R^3

Onde k é uma constante de proporcionalidade.

Análise da Asserção I

Esta asserção afirma que o valor de k é igual para todos os planetas listados na tabela.

• Correto. A constante k na Terceira Lei de Kepler depende exclusivamente da massa do corpo central que atrai os outros corpos. No caso do Sistema Solar, o corpo central é o Sol.
• Como todos os planetas orbitam o mesmo Sol, eles compartilham o mesmo valor de k.
• Se olharmos para a tabela:
• Para a Terra: T=1 ano, R=1 u.a \rightarrow k = 1^2 / 1^3 = 1.
• Para Marte: T \approx 1,88, R \approx 1,52.
  k \approx \frac{1,88^2}{1,52^3} \approx \frac{3,53}{3,51} \approx 1
• O cálculo confirma que k é aproximadamente 1 (no sistema de unidades anos e unidades astronômicas) para todos os planetas.

Análise da Asserção II

Esta asserção afirma que k é a mesma para todos os planetas da galáxia e está associada ao buraco negro supermassivo no centro.

• Incorreto. Existem dois erros fundamentais aqui:

1. Dependência da Massa Central: A constante k muda conforme mudamos de sistema estelar. A constante para os planetas orbitando o Sol é diferente da constante para exoplanetas orbitando outra estrela, pois depende da massa dessa estrela.
2. Órbitas: Os planetas do Sistema Solar orbitam o Sol, não o buraco negro supermassivo (Sagitário A*) no centro da Via Láctea. A influência gravitacional dominante para os planetas é a do Sol, não do buraco negro central. Portanto, a constante calculada para os planetas solares não está associada à massa do buraco negro.

Conclusão

• A Asserção I é Verdadeira, pois a constante k é determinada pela massa do Sol, sendo comum a todos os planetas do sistema.
• A Asserção II é Falsa, pois a constante k varia de acordo com a massa do corpo central (estrela), e os planetas orbitam o Sol, não o buraco negro galáctico.

Portanto, a alternativa correta é aquela que indica que a primeira asserção é verdadeira e a segunda é falsa.