Alternativa A - 1,89 ano
Introdução ao Conceito
A Duration (ou Duração Macaulay) é um indicador financeiro que mede o prazo médio ponderado para receber os fluxos de caixa de um investimento ou empréstimo. Ela considera o valor presente de cada pagamento futuro, dando mais peso aos pagamentos que ocorrem mais cedo se comparados a pagamentos futuros descontados.
Nesta questão, precisamos calcular a duração de um empréstimo de R$ 50.000,00 com taxa de 12% ao ano, onde os juros são pagos anualmente e o principal é pago apenas no final (ano 2).
Desenvolvimento do Cálculo
Para encontrar a Duration, seguimos três etapas principais: identificar os fluxos de caixa, atualizar esses fluxos a valor presente e aplicar a fórmula de média ponderada.
1. Identificar os Fluxos de Caixa (FC)
O empréstimo tem um prazo de 2 anos e paga juros anualmente.
- Ano 1: Apenas pagamento de juros.
- Juros = $50.000 \times 12\% = R\$ 6.000,00$
- FC_1 = R\$ 6.000,00
- Ano 2: Pagamento de juros + Principal.
- Juros = R\$ 6.000,00
- Principal = R\$ 50.000,00
- FC_2 = R\$ 56.000,00
2. Calcular o Valor Presente (VP) de cada fluxo
Descontamos os valores futuros pela taxa de 12% ao ano ($1 + i = 1,12$).
- Ano 1:
VP_1 = \frac{6.000}{(1,12)^1} \approx 5.357,14 - Ano 2:
VP_2 = \frac{56.000}{(1,12)^2} = \frac{56.000}{1,2544} \approx 44.642,86
Nota: A soma dos VPs deve ser igual ao valor do empréstimo ($5.357,14 + 44.642,86 = 50.000$), o que confirma nossos cálculos.
3. Aplicar a Fórmula da Duration
A fórmula da Duration (D) é a soma dos produtos entre o tempo (t) e o valor presente do fluxo (VP), dividida pelo valor presente total (VPT).
D = \frac{(1 \times VP_1) + (2 \times VP_2)}{VPT}
Substituindo os valores:
D = \frac{(1 \times 5.357,14) + (2 \times 44.642,86)}{50.000}
D = \frac{5.357,14 + 89.285,72}{50.000}
D = \frac{94.642,86}{50.000}
D \approx 1,8928
Analise das Alternativas
| Tempo (t) | Fluxo de Caixa (FC) | Valor Presente (VP) | Ponderado (t \times VP) |
|---|
| 1 | 6.000,00 | 5.357,14 | 5.357,14 |
| 2 | 56.000,00 | 44.642,86 | 89.285,72 |
| Total | | 50.000,00 | 94.642,86 |
Dividindo a coluna final pelo valor total do empréstimo, obtemos a duração em anos.
- Alternativa A: Correta. O cálculo resulta em aproximadamente 1,89 anos.
- Alternativa B: Incorreta.
- Alternativa C: Incorreta.
- Alternativa D: Incorreta.
- Alternativa E: Incorreta.
Conclusão
O cálculo da duração ponderada pelos valores presentes dos fluxos de caixa resulta em 1,89 ano. Portanto, a alternativa correta é a A.