As aplicações da área de estática de partículas são extremamente amplas. Permitindo a atuação de engenheiros em situações que vão desde o dimensionamento de prédios e pontes, até para dispositivos utilizados em apresentações artísticas. David Copperfield é um renomado mágico e ilusionista dos Estados Unidos. Conhecido por inúmeros feitos como fazer desaparecer a estátua da liberdade e até voar em um palco. Essas atuações sempre intrigam os espectadores de seus shows. Várias teorias surgem sobre como o mágico foi capaz de flutuar no ar. Algumas teorias supõem que cabos extremamente finos, feitos de nylon, que são extremamente resistentes, possuindo como limite de ruptura 949 N, seriam utilizados para suspender ele no ar. Adotando que a máquina seja de aproximadamente 64 kg e supondo que apenas um fio fosse utilizado como suspender ele no ar, determine o maior ângulo θ, em graus, que poderia ser formado para evitar o cabo de romper. Adote g = 9,8 m/s².

O maior ângulo \theta que pode ser formado sem romper o cabo é de 70,7°.

Análise do Problema

Este é um problema de estática de partículas, envolvendo o equilíbrio de forças atuantes sobre o ponto de suspensão do mágico. Para resolver, precisamos garantir que a soma das forças verticais seja nula e que a tensão no cabo não ultrapasse seu limite de ruptura.

Dados fornecidos:

• Massa do mágico (m): $64 \text{ kg}$
• Limite de ruptura do cabo (T_{\text{max}}): $949 \text{ N}$
• Aceleração da gravidade (g): $9,8 \text{ m/s}^2$
• Configuração: Um único fio contínuo passa pelo nó central e pelos suportes, garantindo que a tensão (T) é uniforme em todos os segmentos.

Desenvolvimento

1. Cálculo da Força Peso:
   Primeiro, determinamos o peso total que deve ser sustentado.
   P = m \cdot g = 64 \cdot 9,8 = 627,2 \text{ N}
2. Análise das Forças no Nó Central:
   No ponto onde o mágico está suspenso (nó central), atuam três forças principais:

• O peso (P) para baixo.
• A tensão do segmento esquerdo (T) puxando para cima e para a esquerda.
• A tensão do segmento direito (T) puxando para cima e para a direita.

Como o diagrama indica o mesmo ângulo \theta para ambos os lados em relação à vertical, temos simetria. A componente vertical de cada tensão é dada por T \cdot \cos(\theta).

1. Equação de Equilíbrio:
   Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças vertiais para cima deve igualar a força peso para baixo:
   2 \cdot T \cdot \cos(\theta) = P
   Isolando a tensão T:
   T = \frac{P}{2 \cdot \cos(\theta)}
2. Aplicação do Limite de Ruptura:
   Sabemos que o cabo rompe se T > 949 \text{ N}. Para encontrar o maior ângulo, devemos considerar o caso em que a tensão é máxima (T = 949 \text{ N}). Note que quanto maior o ângulo \theta (mais horizontal fica o cabo), menor é o \cos(\theta) e maior a tensão necessária para sustentar o peso.

Substituindo os valores na equação:
949 = \frac{627,2}{2 \cdot \cos(\theta)}
\cos(\theta) = \frac{627,2}{2 \cdot 949}
\cos(\theta) = \frac{627,2}{1898} \approx 0,33045

1. Cálculo do Ângulo:
   Calculamos o arco cosseno para encontrar \theta:
   \theta = \arccos(0,33045) \approx 70,70^\circ

Arredondando para três algarismos significativos, conforme solicitado.

Resposta Final