Em um condutor cilíndrico de 2 mm de raio, existe uma densidade de corrente que varia em relação à distância do eixo de acordo com: J = 10⁻² * e⁻ᵦ A/m², nesta condição, e considerando que o elemento diferencial de área em coordenadas cilíndricas é dρ dφ calcule a corrente total no condutor.

Alternativa B

Para encontrar a corrente total (I) em um condutor quando a densidade de corrente (J) não é uniforme, devemos integrar a densidade sobre a área da seção transversal do condutor.

A fórmula fundamental é dada pela integral de superfície:
I = \iint_S \vec{J} \cdot d\vec{A}

Como a densidade depende apenas da distância radial \rho e é perpendicular à área, simplificamos para coordenadas cilíndricas:
I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} J(\rho) \cdot \rho \, d\rho \, d\phi

Substituindo os dados fornecidos (J = 10^3 e^{-\rho} e R = 2 \text{ mm} = 0,002 \text{ m}):

A integral angular resulta em $2\pi$. A integral radial requer integração por partes, resultando no termo [1 - e^{-R}(R+1)]. Ao calcular numericamente com R = 0,002, obtém-se aproximadamente $12,55 \text{ mA}$.

Análise Detalhada

Abaixo, detalhamos o passo a passo do cálculo para confirmar a alternativa B.

1. Definição dos Dados e Unidades

• Raio do condutor (R): $2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} = 0,002 \text{ m}$.
• Densidade de corrente (J): $10^3 e^{-\rho} \text{ A/m}^2$.
• Elemento de área (dA): \rho \, d\rho \, d\phi.

2. Montagem da Integral

A corrente total é a soma de todas as correntes elementares dI = J \cdot dA que passam pela seção circular:
I = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{R} (10^3 e^{-\rho}) \rho \, d\rho

Separando as constantes e as variáveis:
I = 10^3 \cdot \left( \int_{0}^{2\pi} d\phi \right) \cdot \left( \int_{0}^{R} \rho e^{-\rho} \, d\rho \right)

3. Resolução das Integrais

• Integral Angular (\phi):
  \int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi
• Integral Radial (\rho):
  Utilizamos integração por partes, onde u = \rho e dv = e^{-\rho} d\rho.
  \int \rho e^{-\rho} d\rho = -\rho e^{-\rho} - e^{-\rho} = -e^{-\rho}(\rho + 1)
  Avaliando nos limites $0$ e R:
  \left[ -e^{-\rho}(\rho + 1) \right]_0^R = -e^{-R}(R + 1) - (-e^0(0 + 1))
  = 1 - e^{-R}(R + 1)

4. Cálculo Numérico Final

Substituindo R = 0,002 na expressão da integral radial:
\text{Fator Radial} = 1 - e^{-0,002}(1,002)
Utilizando o valor preciso de e^{-0,002} \approx 0,998002:
\text{Fator Radial} \approx 1 - 0,998002(1,002) \approx 1,9974 \times 10^{-6}

Agora, multiplicamos pelos fatores restantes:
I = 10^3 \cdot 2\pi \cdot (1,9974 \times 10^{-6})
I \approx 2000\pi \cdot 1,9974 \times 10^{-6}
I \approx 12,5506 \times 10^{-3} \text{ A}
I \approx 12,550 \text{ mA}

Portanto, a corrente total é de 12,550 mA, correspondendo à Alternativa B.