Em um laboratório de modelagem computacional, pesquisadores simulam dois campos vetoriais diferentes que atuam em volumes fechados. Cada campo possui simetria radial, mas apresenta comportamentos distintos ao longo de seu domínio. Para verificar a estabilidade térmica, os engenheiros avaliam se o fluxo do campo vetorial permanece constante ao longo de diferentes geometrias de superfície, todas envolvendo a origem do sistema de coordenadas. Considere os seguintes campos: F₁ (x, y, z) = (x, y, 2) / (x² + y² + z²)^(3/2) , F₂ (x, y, z) = (x, y, 2) / (x² + y² + z²)² . Com base nessa situação, analise as afirmativas a seguir: O campo F₁ tem fluxo constante em qualquer superfície fechada que contenha a origem. II. O campo F₂ possui divergente nulo fora da origem, e ao calcular seu fluxo sobre uma esfera de raio R, o resultado depende de R. III. O Teorema de Gauss pode ser aplicado diretamente a F₂, mesmo que a origem esteja contida na região.

Alternativa B

Análise Detalhada da Questão

Esta questão aborda conceitos fundamentais de Cálculo Vetorial, especificamente campos vetoriais radiais, teorema da divergência (Teorema de Gauss) e o conceito de fluxo. Vamos analisar cada afirmação passo a passo.

Definimos a distância radial como $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Os campos podem ser reescritos em termos de $r$ e do vetor posição $\vec{r} = (x, y, z)$:

• $\vec{F}_1 = \frac{\vec{r}}{r^3}$
• $\vec{F}_2 = \frac{\vec{r}}{r^4}$

1. Análise da Afirmação I

"O campo $\vec{F}_1$ tem fluxo constante em qualquer superfície fechada que contenha a origem."

O campo $\vec{F}_1$ é análogo ao campo elétrico de uma carga pontual (Lei de Coulomb).

• O divergente deste campo é zero em todo ponto exceto na origem ($r \neq 0$). Na origem, ele comporta-se como uma função Delta de Dirac.
• Pelo Teorema da Divergência, o fluxo através de uma superfície fechada depende apenas da integral do divergente dentro do volume.
• Como o divergente é nulo em toda parte exceto na origem, qualquer superfície que envolva a origem captura a mesma "quantidade de fonte" (singularidade).
• Portanto, o fluxo é constante (igual a $4\pi$ para esta normalização), independentemente da forma da superfície.

Conclusão: A afirmação I é VERDADEIRA.

2. Análise da Afirmação II

"O campo $\vec{F}_2$ possui divergente nulo fora da origem..."

Para verificar isso, calculamos o divergente de um campo radial genérico $\vec{F} = f(r)\hat{r}$. A fórmula é:
$$ \nabla \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 f(r)) $$

Para $\vec{F}_2 = \frac{\vec{r}}{r^4} = \frac{1}{r^3}\hat{r}$, temos $f(r) = \frac{1}{r^3}$.
Substituindo na fórmula:
$$ \nabla \cdot \vec{F}_2 = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \cdot \frac{1}{r^3} \right) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{r} \right) = \frac{1}{r^2} \left( -\frac{1}{r^2} \right) = -\frac{1}{r^4} $$

Como $-\frac{1}{r^4} \neq 0$, o divergente não é nulo fora da origem. A afirmação diz que é nulo.

Conclusão: A afirmação II é FALSA.

3. Análise da Afirmação III

"O Teorema de Gauss pode ser aplicado diretamente ao $\vec{F}_2$, mesmo que a origem esteja contida na região."

O Teorema da Divergência exige que o campo vetorial seja continuamente diferenciável ($C^1$) em todo o volume de integração.

• No caso de $\vec{F}_2$, há uma singularidade na origem ($r=0$), onde o campo não está definido e tende ao infinito.
• Se a origem estiver contida no volume, as condições do teorema são violadas. Não se pode aplicar o teorema diretamente; seria necessário excluir a origem (por exemplo, usando uma pequena esfera ao redor dela) e calcular o limite.

Conclusão: A afirmação III é FALSA.

Conclusão Final

Com base na análise:

• I: Verdadeira
• II: Falsa
• III: Falsa

A única alternativa correta é aquela que contém apenas a afirmativa I.

Alternativa B