Alternativa A
Para resolver esta questão, precisamos calcular as coordenadas do Centro de Massa (X_{CM} e Y_{CM}) do sistema formado pelos quatro discos. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar concentrada toda a massa do sistema para fins de análise mecânica.
1. Identificação dos Dados
Primeiro, extraímos as informações fornecidas no enunciado e interpretamos a figura para obter as coordenadas dos centros de cada disco.
- Massas:
- m_1 = 10 \text{ kg}
- m_2 = 20 \text{ kg}
- m_3 = 15 \text{ kg}
- m_4 = 30 \text{ kg}
- Coordenadas dos Centros (x, y):
Sabendo que o raio R = 20 \text{ cm} e observando o alinhamento dos discos nos eixos: - Disco 1 (Topo Esquerdo): x_1 = 20, y_1 = 60
- Disco 2 (Topo Direito): x_2 = 60, y_2 = 60
- Disco 3 (Baixo Direito): x_3 = 60, y_3 = 20
- Disco 4 (Baixo Esquerdo): x_4 = 20, y_4 = 20
2. Fórmulas Utilizadas
As coordenadas do centro de massa são dadas pela média ponderada das posições pelas suas respectivas massas:
X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}
Y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}
## Análise Matemática
Passo 1: Calcular a massa total do sistema (M_{total})
M_{total} = 10 + 20 + 15 + 30 = 75 \text{ kg}
Passo 2: Calcular $X_{CM}$
Substituímos os valores na fórmula da coordenada X:
X_{CM} = \frac{(10 \cdot 20) + (20 \cdot 60) + (15 \cdot 60) + (30 \cdot 20)}{75}
Calculando os produtos (momentos lineares em X):
- Disco 1: $200$
- Disco 2: $1200$
- Disco 3: $900$
- Disco 4: $600$
Somando os numeradores: $200 + 1200 + 900 + 600 = 2900$
Dividindo pela massa total:
X_{CM} = \frac{2900}{75} \approx 38,66 \text{ cm}
Passo 3: Calcular $Y_{CM}$
Substituímos os valores na fórmula da coordenada Y:
Y_{CM} = \frac{(10 \cdot 60) + (20 \cdot 60) + (15 \cdot 20) + (30 \cdot 20)}{75}
Calculando os produtos (momentos lineares em Y):
- Disco 1: $600$
- Disco 2: $1200$
- Disco 3: $300$
- Disco 4: $600$
Somando os numeradores: $600 + 1200 + 300 + 600 = 2700$
Dividindo pela massa total:
Y_{CM} = \frac{2700}{75} = 36 \text{ cm}
Conclusão
Os valores calculados são X_{CM} \cong 38,66 e Y_{CM} = 36. Isso corresponde exatamente à alternativa a.