Resolva as equações trigonométricas a seguir. Se cos x = 1/2, então o valor de tg(x) é:

Alternativa B

Esta questão da Mackenzie-SP exige o conhecimento das relações fundamentais entre as funções trigonométricas e a análise dos sinais em cada quadrante do ciclo trigonométrico. O problema fornece o valor do cosseno e o intervalo do ângulo, pedindo-se o valor da tangente.

Resolução Passo a Passo

Para encontrar o valor de \text{tg}(x), precisamos utilizar a definição de tangente em função do seno e do cosseno, e determinar o sinal correto do seno baseando-nos no quadrante onde o ângulo x está localizado.

1. Identificação do Quadrante

O enunciado informa que:
\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi

Isso significa que o ângulo x pertence ao 4º Quadrante. Neste quadrante, apenas o cosseno (e a secante) são positivos; o seno e a tangente são negativos.

2. Cálculo do Seno

Sabemos que a soma dos quadrados do seno e do cosseno é igual a 1 (Identidade Fundamental):
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

Substituindo o valor dado \cos(x) = \frac{2}{3}:
\sin^2(x) + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1
\sin^2(x) + \frac{4}{9} = 1
\sin^2(x) = 1 - \frac{4}{9}
\sin^2(x) = \frac{5}{9}

Extraindo a raiz quadrada:
\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}

Como estamos no 4º quadrante, o seno deve ser negativo:
\sin(x) = -\frac{\sqrt{5}}{3}

3. Cálculo da Tangente

A tangente é definida pela razão entre o seno e o cosseno:
\text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Substituindo os valores encontrados:
\text{tg}(x) = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}

Simplificando a fração:
\text{tg}(x) = -\frac{\sqrt{5}}{2}

Conclusão

O valor calculado corresponde exatamente à alternativa (B). É crucial lembrar sempre de verificar o sinal da função no quadrante indicado antes de finalizar a resposta.