Análise da Questão
A imagem apresentada possui uma sobreposição ("Proteção de tela ativada") que oculta parte do enunciado. No entanto, os fragmentos visíveis permitem identificar o contexto físico e reconstruir o problema para fins didáticos.
Contexto Identificado:
- Disciplina: Física (Óptica e Princípios de Física Moderna).
- Tópico: Relatividade Restrita (Cálculo de velocidade relativística).
- Dados Visíveis:
- Energia mencionada: 100 MeV.
- Constantes fornecidas: $1 \text{ eV} = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ J}$ e c = 2,99 \cdot 10^8 \text{ m/s}.
- Alternativas visíveis: Uma delas é 0,999987 c.
Reconstrução do Problema:
Pelas alternativas e pelo valor da energia (100 MeV), trata-se do cálculo da velocidade de uma partícula subatômica onde efeitos relativísticos são significativos. Comparando a energia com as massas de repouso das partículas comuns:
- Próton: \approx 938 MeV.
- Elétron: \approx 0,511 MeV.
Como $100 \text{ MeV} \gg 0,511 \text{ MeV}$, a partícula é quase certamente um elétron, pois sua energia cinética é muito maior que sua massa de repouso, exigindo tratamento relativístico rigoroso.
Resolução Didática
Para encontrar a velocidade v em função de c, utilizamos as equações da Relatividade Especial.
1. Conceitos Fundamentais
Na física moderna, a energia total E de uma partícula é a soma da sua energia cinética K e da sua energia de repouso mc^2:
E = K + mc^2
O fator de Lorentz \gamma relaciona a energia total com a massa de repouso:
\gamma = \frac{E}{mc^2} = \frac{K + mc^2}{mc^2}
A relação entre a velocidade v e o fator de Lorentz é:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \Rightarrow v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}
2. Cálculo Passo a Passo
Vamos utilizar as unidades de energia natural (MeV) para simplificar, já que a massa do elétron é conhecida nesse sistema.
Dados:
- Energia Cinética (K): $100 \text{ MeV}$
- Massa de repouso do elétron (m_e): $0,511 \text{ MeV}/c^2$
Passo A: Calcular a Energia Total (E)
E = 100 \text{ MeV} + 0,511 \text{ MeV} = 100,511 \text{ MeV}
Passo B: Calcular o Fator de Lorentz (\gamma)
\gamma = \frac{E}{mc^2} = \frac{100,511}{0,511} \approx 196,7
Passo C: Calcular a Velocidade (v)
Substituindo \gamma na fórmula da velocidade:
v = c \sqrt{1 - \frac{1}{(196,7)^2}}
v = c \sqrt{1 - \frac{1}{38690}}
v = c \sqrt{1 - 0,0000258}
v = c \sqrt{0,9999742}
v \approx 0,999987 \, c
3. Tabela Comparativa das Partículas
| Partícula | Massa de Repouso (mc^2) | Energia do Problema | Resultado Esperado |
|---|
| Próton | ~938 MeV | 100 MeV | Não relativístico (v < 0,5c) |
| Elétron | ~0,511 MeV | 100 MeV | Ultra-relativístico (v \approx c) |
O resultado obtido corresponde exatamente à alternativa que indica uma velocidade extremamente próxima da velocidade da luz.
Conclusão
Com base na análise dos dados visíveis e no cálculo da velocidade relativística de um elétron com 100 MeV de energia cinética:
Alternativa C