Alternativa E - I, II e III, apenas.
Análise Detalhada
Para resolver esta questão de mecânica dos materiais e estática, devemos analisar o comportamento elástico das pernas da bancada sob a ação do peso.
1. Análise Geométrica (Afirmativa I)
A estrutura inicial possui três pernas de comprimento L e uma perna de comprimento L + d. Para que a bancada fique nivelada, a base superior deve permanecer plana.
- Considere que a deformação nas pernas curtas seja \delta_{curta}.
- Para que a perna longa (que começa d acima das outras) alcance o mesmo nível final, ela precisa comprimir não apenas o deslocamento comum, mas também compensar o excesso de altura inicial.
- Matematicamente, a deformação na perna longa (\delta_{longa}) é dada por:
\delta_{longa} = \delta_{curta} + d - Como d > 0, concluímos que $\delta_{longa} > \delta_{curta}$.
- Portanto, a deformação elástica na perna mais longa é maior. A Afirmativa I é Verdadeira.
2. Cálculo das Forças (Afirmativa II)
Utilizamos a Lei de Hooke generalizada (F = \frac{EA}{L} \cdot \delta) e o equilíbrio de forças verticais.
- Seja k = \frac{EA}{L} a rigidez de cada perna (considerando L \approx L+d para simplificação, dado que d \ll L).
- Forças nas pernas curtas: F_3 = k \cdot \delta_{curta}.
- Força na perna longa: F_4 = k \cdot \delta_{longa} = k(\delta_{curta} + d) = F_3 + kd.
- Equilíbrio de forças (soma das forças normais = peso do bloco):
3F_3 + F_4 = Mg - Substituindo F_4:
3F_3 + (F_3 + kd) = Mg
4F_3 = Mg - kd
F_3 = \frac{Mg}{4} - \frac{kd}{4} - Substituindo k = \frac{EA}{L}:
F_3 = \frac{Mg}{4} - \frac{dAE}{4L} - A expressão obtida coincide exatamente com a apresentada na questão. A Afirmativa II é Verdadeira.
3. Comparação de Forças (Afirmativa III)
Já demonstramos na etapa anterior a relação entre as forças:
F_4 = F_3 + kd
- Como k (rigidez) e d (desnível) são positivos, a força na perna longa (F_4) é necessariamente maior que a força nas pernas curtas (F_3).
- Isso ocorre porque a perna mais longa precisa exercer uma força extra para "fechar" o espaço d e manter a bancada nivelada.
- Portanto, a Afirmativa III é Verdadeira.
4. Variação com o Parâmetro d (Afirmativa IV)
Analisamos a dependência da força F_4 em relação a d.
- Da relação F_4 = \frac{Mg}{4} + \frac{3kd}{4} (obtida substituindo F_3 na equação de equilíbrio), vemos que F_4 depende diretamente de d.
- Se o valor de d aumenta, o termo \frac{3kd}{4} aumenta, fazendo com que F_4 aumente, não diminua.
- Fisicamente, quanto maior o desnível inicial, maior a compressão necessária na perna longa para nivelar a estrutura, resultando em maior força interna.
- Portanto, a Afirmativa IV é Falsa.
Conclusão
As afirmativas corretas são I, II e III.
Alternativa E