Alternativa B - $5,076 \mathbf{a}_y + 0,057 \mathbf{a}_z \text{ nC/m}^2$
A resolução deste problema baseia-se no Princípio da Superposição, que afirma que o vetor deslocamento elétrico total (\vec{D}) em um ponto é a soma vetorial dos campos produzidos por cada fonte de carga individualmente.
\vec{D}_{total} = \vec{D}_{pontual} + \vec{D}_{plano}
Análise Detalhada
1. Contribuição da Carga Pontual (\vec{D}_{pontual})
- Dados: Carga Q = 30 \text{ nC} na origem (0,0,0). Ponto P(0, 4, 3).
- Distância (r):
r = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ m} - Vetor Unitário (\hat{a}_r): Direção da origem até P.
\hat{a}_r = \frac{4\mathbf{a}_y + 3\mathbf{a}_z}{5} = 0,8\mathbf{a}_y + 0,6\mathbf{a}_z - Cálculo do Módulo:
|\vec{D}_{pontual}| = \frac{Q}{4\pi r^2} = \frac{30}{4\pi (5^2)} = \frac{30}{100\pi} \approx 0,09549 \text{ nC/m}^2 - Componentes:
\vec{D}_{pontual} = 0,09549 \times (0,8\mathbf{a}_y + 0,6\mathbf{a}_z)
D_{py} \approx 0,0764 \text{ nC/m}^2
D_{pz} \approx 0,0573 \text{ nC/m}^2
2. Contribuição do Plano Infinito (\vec{D}_{plano})
- Dados: Plano em y = 3, densidade \rho_s = 10 \text{ nC/m}^2.
- Direção: O ponto P está em y=4, logo está no lado positivo do plano (y > 3). O campo aponta para longe do plano (direção +\mathbf{a}_y).
- Fórmula: Para um plano infinito, \vec{D} = \frac{\rho_s}{2} \hat{a}_n.
\vec{D}_{plano} = \frac{10}{2} \mathbf{a}_y = 5 \mathbf{a}_y \text{ nC/m}^2
3. Soma Vetorial Final
Somamos as componentes correspondentes (y com y, z com z):
| Componente | Carga Pontual | Plano Infinito | Total |
|---|
| y | $0,0764$ | $5,0000$ | $5,0764$ |
| z | $0,0573$ | $0$ | $0,0573$ |
\vec{D}_{total} \approx 5,076 \mathbf{a}_y + 0,057 \mathbf{a}_z \text{ nC/m}^2
Conclusão
A alternativa B apresenta exatamente esses valores arredondados. As outras alternativas estão incorretas devido a erros de sinal (alternativa A), unidades (alternativas C e E usam pC em vez de nC) ou cálculos divergentes (alternativa D).