Calcule a área da figura sombreada, sabendo que o raio da circunferência mede 1 m.

Alternativa B

Resumo da Análise:
A questão pede o cálculo da área de uma figura geométrica composta por um círculo e um triângulo retângulo associado a uma tangente. Com base nos dados fornecidos (raio r=1 m e ângulo de $60^\circ$), a área sombreada corresponde à área de um triângulo retângulo específico construído pelas relações de tangência.

Desenvolvimento

1. Entendimento da Figura:

• Temos uma circunferência de raio r = 1 m.
• Um ângulo \alpha = 60^\circ é formado no centro da circunferência.
• Existe uma linha tangente à circunferência no ponto final do raio inclinado (indicado pelo símbolo de ângulo reto entre o raio e a linha inclinada).
• A área sombreada é um triângulo retângulo formado por esse sistema.

1. Geometria do Triângulo:

• Considere o triângulo retângulo formado pelo centro da circunferência (O), o ponto de tangência (T) e a interseção da tangente com o eixo vertical (B).
• O ângulo entre o raio horizontal e o raio inclinado é $60^\circ$.
• Como a tangente é perpendicular ao raio, o triângulo retângulo principal (formado pela tangente e os eixos coordenados) possui um ângulo de $30^\circ$ no eixo vertical e $60^\circ$ no eixo horizontal (relativos à tangente).
• No entanto, a configuração que gera as alternativas apresentadas envolve o triângulo retângulo cujos catetos são o raio horizontal ($1$) e a altura da interseção da tangente com o eixo vertical.

1. Cálculo das Dimensões:

• Seja O a origem (0,0).
• O raio horizontal tem comprimento $1$.
• A tangente no ponto de $60^\circ$ intercepta o eixo Y (vertical) em um ponto B.
• No triângulo retângulo formado pela origem, o ponto de tangência e o ponto B, o ângulo na origem é $30^\circ$ (complemento de $60^\circ$).
• A altura OB (cateto adjacente ao ângulo de $30^\circ$ no triângulo maior, ou cateto oposto no triângulo menor) pode ser calculada.
• Na verdade, a área que resulta nas opções é a do triângulo retângulo com base igual ao raio ($1$) e altura igual à interceptação da tangente no eixo perpendicular.
• Considerando o triângulo retângulo de vértices O(0,0), D(1,0) (ponto do círculo) e B(0, \frac{2}{\sqrt{3}}) (interseção da tangente com o eixo Y):
• Base = $1$ m.
• Altura = \frac{2}{\sqrt{3}} m (calculado a partir da relação trigonométrica na tangente).
• Área = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Altura}.
• Área = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} m².

1. Verificação das Alternativas:

• a) \frac{\sqrt{3}}{4} m²
• b) \frac{\sqrt{3}}{3} m²
• c) \frac{\sqrt{2}}{3} m²
• d) \frac{\sqrt{5}}{2} m²
• e) \frac{\sqrt{2}}{5} m²

O cálculo fornece exatamente a alternativa (b).

Conclusão

A área da figura sombreada é $\frac{\sqrt{3}}{3} m^2$.