CALCULE o momento de inércia, no eixo das abscissas (x) e das ordenadas (y), em relação ao centroide da figura abaixo (Unidades em m).

Análise da Questão de Mecânica dos Materiais

Esta questão trata do cálculo do Momento de Inércia de Área (também conhecido como Segundo Momento de Inércia) para uma seção transversal composta por um retângulo maciço menos um retângulo vazio (seção hueca ou tubular).

Para resolver, utilizaremos o princípio da superposição, subtraindo o momento de inércia da área interna (vazia) do momento de inércia da área externa (cheia). Como a figura é simétrica, o centroide coincide com o centro geométrico, facilitando o uso das fórmulas básicas para retângulos.

Definição das Dimensões

Primeiro, precisamos identificar as dimensões externas (B e H) e internas (b e h) baseadas nas cotas fornecidas na imagem:

• Largura Total (B): Soma das espessuras laterais e da abertura central.
  B = 0.04\,\text{m} + 0.21\,\text{m} + 0.04\,\text{m} = 0.29\,\text{m}
• Altura Total (H): Soma da abertura central e das espessuras superior e inferior.
  H = 0.04\,\text{m} + 0.32\,\text{m} + 0.04\,\text{m} = 0.40\,\text{m}
• Largura Interna (b): Abertura central.
  b = 0.21\,\text{m}
• Altura Interna (h): Abertura central.
  h = 0.32\,\text{m}

Análise e Cálculos

A fórmula geral para o momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo centroidal é:
I = \frac{\text{base} \times \text{altura}^3}{12}

Como temos uma seção vazada, aplicamos a subtração:
I_{\text{total}} = I_{\text{externo}} - I_{\text{interno}}

1. Cálculo do Momento de Inércia no Eixo X (I_x)

No eixo x, a base do retângulo é a largura (B ou b) e a altura ao cubo é a dimensão vertical (H ou h).

Substituindo os valores:

Calculando termo a termo:

• Área Externa: \frac{0.29 \cdot 0.064}{12} = \frac{0.01856}{12} \approx 0.0015467\,\text{m}^4
• Área Interna: \frac{0.21 \cdot 0.032768}{12} = \frac{0.00688128}{12} \approx 0.0005734\,\text{m}^4

Resultado final para I_x:
I_x = 0.0015467 - 0.0005734 = 0.0009733\,\text{m}^4

Ou, em notação científica: $9.73 \times 10^{-4}\,\text{m}^4$.

2. Cálculo do Momento de Inércia no Eixo Y (I_y)

No eixo y, invertemos os papéis. A base passa a ser a altura vertical (H) e a altura ao cubo torna-se a largura (B).

Substituindo os valores:

Calculando termo a termo:

• Área Externa: \frac{0.40 \cdot 0.024389}{12} = \frac{0.0097556}{12} \approx 0.0008130\,\text{m}^4
• Área Interna: \frac{0.32 \cdot 0.009261}{12} = \frac{0.00296352}{12} \approx 0.0002470\,\text{m}^4

Resultado final para I_y:
I_y = 0.0008130 - 0.0002470 = 0.0005660\,\text{m}^4

Ou, em notação científica: $5.66 \times 10^{-4}\,\text{m}^4$.

Conclusão

Os momentos de inércia da figura em relação aos seus eixos centroidais são: