Para resolver este problema, utilizamos as relações métricas e trigonométricas dentro do triângulo retângulo formado pela altura h. O resultado para a altura h é aproximadamente $7,69\text{ cm}$ e para o segmento x é aproximadamente $2,21\text{ cm}$.
Resolução Passo a Passo
O problema apresenta um triângulo isósceles ABC onde os lados congruentes medem $8\text{ cm}$ e o ângulo da base mede $74^\circ$. Ao traçar a altura h do vértice A até a base, formam-se dois triângulos retângulos congruentes. Focaremos no triângulo retângulo à direita, chamado aqui de ADC.
Neste triângulo retângulo ADC:
- A hipotenusa é o lado congruente AC, que mede $8\text{ cm}$.
- O ângulo agudo em C mede $74^\circ$.
- O cateto oposto ao ângulo é a altura h.
- O cateto adjacente ao ângulo é o segmento x.
a) Cálculo da altura h
Para encontrar o cateto oposto conhecendo a hipotenusa e o ângulo, usamos a função Seno:
\sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}
Substituindo os dados:
\sin(74^\circ) = \frac{h}{8}
Isolando h:
h = 8 \cdot \sin(74^\circ)
Calculando o valor (usando calculadora):
\sin(74^\circ) \approx 0,9613
h \approx 8 \cdot 0,9613 \approx 7,69\text{ cm}
b) Cálculo do segmento x
Para encontrar o cateto adjacente, usamos a função Cosseno:
\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}
Substituindo os dados:
\cos(74^\circ) = \frac{x}{8}
Isolando x:
x = 8 \cdot \cos(74^\circ)
Calculando o valor:
\cos(74^\circ) \approx 0,2756
x \approx 8 \cdot 0,2756 \approx 2,21\text{ cm}
Observação importante: Embora a questão peça "a medida x da base", a figura indica claramente que x corresponde apenas à metade da base total (segmento DC). A base total do triângulo seria $2 \cdot x \approx 4,42\text{ cm}. O cálculo apresentado refere-se estritamente à variável $x solicitada.
Análise
- Identificação do Triângulo Retângulo: A altura em um triângulo isósceles sempre forma um ângulo de $90^\circ$ com a base, criando um triângulo retângulo essencial para aplicar a trigonometria.
- Escolha da Razão Trigonométrica:
- Usei Seno porque h está "oposto" ao ângulo conhecido.
- Usei Cosseno porque x está "adjacente" ao ângulo conhecido.
- Precisão: Os resultados foram arredondados para duas casas decimais, padrão comum em exercícios que exigem calculadora científica.
- Propriedade do Isósceles: Lembramos que a altura relativa à base de um triângulo isósceles também atua como mediana, dividindo a base em dois segmentos iguais (BD = DC = x).
Conclusão
Os valores determinados são:
- Altura (h): $7,69\text{ cm}$
- Segmento (x): $2,21\text{ cm}$