A figura abaixo apresenta três arcos de circunferência (1, 2 e 3), fixos, de raios 5 cm, 10 cm e 15 cm, respectivamente, centrados na origem. Os arcos 1 e 2 estão uniformemente carregados, respectivamente, com cargas 4,0 μC e -12,0 μC. O arco 3 possui uma distribuição de carga uniforme Q. Uma carga pontual positiva q = 2 nC localizada na origem tem energia potencial de 28,8 x 10⁻⁴ J. Qual é o valor da carga Q?

Resposta: 30 $\mu$C

O valor da carga Q distribuída uniformemente no terceiro arco é de 30 $\mu$C. O cálculo baseia-se na soma dos potenciais elétricos gerados por cada arco no centro da origem e na relação entre energia potencial elétrica e potencial elétrico.

Introdução ao Problema

Este exercício envolve conceitos de eletrostática, especificamente o potencial elétrico criado por distribuições contínuas de carga e a energia potencial de uma carga puntiforme.

• O potencial elétrico (V) criado por um elemento de carga é escalar, permitindo que somemos os potenciais de cada arco diretamente.
• Para pontos situados no centro de curvatura de um arco carregado, todos os elementos de carga estão à mesma distância R, simplificando a fórmula do potencial.

Análise Matemática

Para encontrar Q, precisamos seguir três etapas principais: converter as unidades para o Sistema Internacional (SI), calcular o potencial total necessário e isolar o termo desconhecido.

1. Conversão de Unidades e Dados

Primeiro, organizamos as grandezas fornecidas:

• Carga de teste: q = 2 \text{ nC} = 2 \times 10^{-9} \text{ C}
• Energia Potencial: U = 28,8 \times 10^{-4} \text{ J}
• Constante Eletrostática: k = 9,0 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2
• Arco 1: R_1 = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m}, Q_1 = 4,0 \mu\text{C} = 4,0 \times 10^{-6} \text{ C}
• Arco 2: R_2 = 10 \text{ cm} = 0,10 \text{ m}, Q_2 = -12,0 \mu\text{C} = -12,0 \times 10^{-6} \text{ C}
• Arco 3: R_3 = 15 \text{ cm} = 0,15 \text{ m}, Carga = Q

2. Relação entre Energia e Potencial

A energia potencial elétrica (U) de uma carga q num ponto onde o potencial é V é dada por:
U = q \cdot V_{total}

Podemos determinar o potencial total necessário na origem dividindo a energia pela carga de teste:
V_{total} = \frac{U}{q} = \frac{28,8 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-9}} = 14,4 \times 10^5 \text{ V} = 1,44 \times 10^6 \text{ V}

3. Cálculo do Potencial dos Arcos

O potencial elétrico no centro de um arco de raio R e carga Q_i é:
V_i = \frac{k \cdot Q_i}{R_i}

Pelo princípio da superposição, o potencial total é a soma algébrica dos potenciais individuais:
V_{total} = V_1 + V_2 + V_3
V_{total} = k \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} + \frac{Q}{R_3} \right)

Substituindo os valores conhecidos na equação:
1,44 \times 10^6 = 9,0 \times 10^9 \left( \frac{4,0 \times 10^{-6}}{0,05} + \frac{-12,0 \times 10^{-6}}{0,10} + \frac{Q}{0,15} \right)

Dividindo ambos os lados por k:
\frac{1,44 \times 10^6}{9,0 \times 10^9} = \frac{4,0 \times 10^{-6}}{0,05} - \frac{12,0 \times 10^{-6}}{0,10} + \frac{Q}{0,15}
0,16 \times 10^{-3} = 80 \times 10^{-6} - 120 \times 10^{-6} + \frac{Q}{0,15}
16 \times 10^{-5} = -40 \times 10^{-6} + \frac{Q}{0,15}
16 \times 10^{-5} = -4 \times 10^{-5} + \frac{Q}{0,15}

Somando $4 \times 10^{-5}$ aos dois lados:
20 \times 10^{-5} = \frac{Q}{0,15}

Multiplicando por $0,15$:
Q = 20 \times 10^{-5} \times 0,15
Q = 3,0 \times 10^{-5} \text{ C}

Convertendo para microcoulombs (\mu\text{C}):
Q = 30 \mu\text{C}

Conclusão

A carga Q necessária para satisfazer a condição de energia potencial dada é positiva e igual a 30 $\mu$C. O sinal positivo é esperado pois a contribuição negativa dos primeiros dois arcos precisa ser superada pelo terceiro para gerar um potencial total positivo (já que a energia potencial da carga positiva de teste é positiva).