Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por um degrau de amplitude V.

Análise da Questão sobre Circuito RL

O enunciado solicita a análise da resposta de um circuito composto por uma Resistência (R) e um Indutor (L) em série, sujeito a uma tensão constante (V) aplicada abruptamente em t = 0. Este é um problema clássico de circuitos de primeira ordem.

Para resolver, precisamos aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff e considerar as propriedades físicas do indutor frente à variação de corrente.

Fundamentação Teórica

O comportamento de um indutor é regido pela relação entre tensão induzida e a taxa de variação da corrente:
v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}

Quando aplicamos um degrau de tensão V no instante t=0:

1. **Em t=0^+$**: O indutor impede a variação instantânea da corrente. Se partimos de zero, a corrente inicial é nula ($i(0) = 0).
2. Em $t \to \infty$: A corrente se estabiliza, tornando-se constante. Como a derivada de uma constante é zero, a tensão no indutor cai para zero.

Análise da Resposta

A resposta total do circuito é composta pela soma da resposta transitória (comportamento dinâmico inicial) e da resposta permanente (estado final).

• Resposta Permanente (Regime Estacionário):
• Quando o tempo tende ao infinito (t \to \infty), a corrente deixa de variar.
• O indutor passa a se comportar como um curto-circuito (fio ideal).
• A corrente é determinada apenas pela resistência segundo a Lei de Ohm:
  i_{permanente} = \frac{V}{R}
• Resposta Transitória (Regime Dinâmico):
• Ocorre durante o intervalo $0 < t < \infty$.
• A energia é armazenada progressivamente no campo magnético do indutor.
• A evolução da corrente segue uma curva exponencial crescente.
• A velocidade dessa transição é definida pela constante de tempo (\tau):
  \tau = \frac{L}{R}
• A expressão matemática completa para a corrente i(t), assumindo corrente inicial nula, é:
  i(t) = \frac{V}{R} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right) = \frac{V}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)

Comparativo de Comportamento

Conclusão

A análise demonstra que um circuito RL sob excitação de degrau possui uma resposta exponencial.

• A resposta permanente é uma corrente contínua igual a V/R.
• A resposta transitória é dada pelo termo exponencial decrescente que faz a corrente ir de $0$ até seu valor máximo.
• O tempo necessário para atingir aproximadamente $63,2\%$ do valor final é exatamente a constante de tempo \tau = L/R.