Calcule i para t>0, se o circuito está em regime permanente em t=0.

Análise Detalhada da Questão

Esta é uma questão clássica de Circuitos Elétricos, especificamente sobre Resposta Transitória de circuitos de segunda ordem (RLC). Para resolvê-la, precisamos analisar o comportamento do circuito antes (t < 0) e depois (t > 0) da ação da chave.

1. Estado Inicial (t < 0)

No instante anterior à comutação, o circuito está em regime permanente (CC constante). Isso nos permite simplificar os componentes dinâmicos:

• Indutor (L): Comporta-se como um curto-circuito (fio ideal, resistência zero).
• Capacitor (C): Comporta-se como um circuito aberto (resistência infinita).
• Chave: A seta indica que a chave abre em t=0. Portanto, para t < 0, ela estava fechada.

Cálculo das condições iniciais:

• Como a chave está fechada, o resistor de $6\text{ }\Omega$ está em paralelo com um fio (curto-circuito), sendo ignorado pelo circuito.
• A corrente total sai da fonte de $16\text{ V}, passa pelo resistor de $2\text{ }\Omega e vai toda para o indutor (pois o capacitor é aberto e o indutor é curto).
• Corrente no indutor:
  i(0^-) = \frac{V}{R} = \frac{16\text{ V}}{2\text{ }\Omega} = 8\text{ A}
  Pela continuidade da corrente no indutor: i(0^+) = i(0^-) = \mathbf{8\text{ A}}.
• Tensão no capacitor: Como o indutor é um curto-circuito, a tensão entre seus terminais é zero. Logo, a tensão no capacitor (que está em paralelo) também é zero.
  v_C(0^-) = 0\text{ V} \Rightarrow v_C(0^+) = 0\text{ V}

2. Estado Transitório (t > 0)

Agora a chave abre. O resistor de $6\text{ }\Omega$ entra no circuito em série com o de $2\text{ }\Omega$.

• Resistência total: R_{eq} = 2\text{ }\Omega + 6\text{ }\Omega = 8\text{ }\Omega.
• Configuração: Fonte de tensão em série com R_{eq}, alimentando um par paralelo L || C.

Vamos aplicar a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) no nó superior:
i_R = i_L + i_C
Substituindo pelas relações dos componentes (i_R = \frac{16 - v_L}{R_{eq}}, v_L = L \frac{di_L}{dt}, i_C = C \frac{dv_L}{dt}):
\frac{16 - L i'}{8} = i + C(L i'')

Substituindo os valores numéricos (L=5, C=\frac{1}{80}, R_{eq}=8):
\frac{16 - 5 i'}{8} = i + \frac{1}{80} \cdot 5 \cdot i''
2 - \frac{5}{8} i' = i + \frac{1}{16} i''

Multiplicando toda a equação por 16 para eliminar frações:
32 - 10 i' = 16 i + i''
Reorganizando para a forma padrão da equação diferencial (i'' + ai' + bi = k):
i'' + 10i' + 16i = 32

Resolução da Equação Diferencial

1. Solução Homogênea (Transitória):
   A equação característica é s^2 + 10s + 16 = 0.
   Fatorando: (s + 2)(s + 8) = 0.
   As raízes são s_1 = -2 e s_2 = -8.
   A parte transitória é: i_h(t) = A e^{-2t} + B e^{-8t}.
2. Solução Particular (Regime Permanente):
   Quando t \to \infty, o circuito volta ao regime CC. O indutor torna-se um curto novamente.
   A nova resistência total é $8\text{ }\Omega$.
   i_p = \frac{16\text{ V}}{8\text{ }\Omega} = 2\text{ A}
   A solução completa é: i(t) = A e^{-2t} + B e^{-8t} + 2.
3. Determinação das Constantes (A e B):

• Condição 1 (t=0): Sabemos que i(0) = 8\text{ A}.
  8 = A + B + 2 \Rightarrow A + B = 6
• Condição 2 (Derivada em t=0): Precisamos de i'(0).
  Sabemos que v_L = L \cdot i'. Em t=0^+, a tensão no indutor deve ser igual à tensão no capacitor (v_C(0^+)=0).
  Logo, v_L(0^+) = 0 \Rightarrow 5 \cdot i'(0) = 0 \Rightarrow i'(0) = 0.
  Derivando a solução: i'(t) = -2A e^{-2t} - 8B e^{-8t}.
  Avaliando em t=0: $0 = -2A - 8B \Rightarrow A = -4B$.
• Sistema de Equações:
  \begin{cases} A + B = 6 \\ A = -4B \end{cases}
  Substituindo: -4B + B = 6 \Rightarrow -3B = 6 \Rightarrow B = -2.
  A = -4(-2) = 8

Conclusão

Substituindo os valores de A e B na equação geral, obtemos a expressão final para a corrente.

Alternativa correta (Expressão):
i(t) = 8e^{-2t} - 2e^{-8t} + 2 \quad \text{[Amperes]}