Calcule os valores de i e v em regime permanente nos circuitos elétricos I – REC.

Resumo da resposta

Os valores calculados para o circuito em regime permanente são i(t) = 20 \sin(1000t) mA e v(t) = 4 \cos(1000t) V. O resultado é obtido aplicando a análise fasorial para converter as grandezas variáveis no tempo em números complexos (impedâncias).

Análise do Problema

O problema solicita o cálculo de uma corrente (i) e uma tensão (v) em um circuito linear alimentado por uma fonte senoidal. A abordagem mais eficiente é utilizar o Domínio da Frequência (Análise Fasorial).

Parâmetros Iniciais:

• Fonte de tensão: v_s(t) = 4 \cos(1000t) V
• Frequência angular: \omega = 1000 rad/s
• Fase inicial da fonte: $0^\circ$ (portanto, fasor \mathbf{V}_s = 4\angle 0^\circ V)

Cálculo das Impedâncias:
Primeiro, convertemos cada componente passivo em sua impedância complexa (Z). As fórmulas utilizadas são Z_L = j\omega L e Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{-j}{\omega C}.

Passo a Passo dos Cálculos

1. Simplificação das Malhas Paralelas

O circuito possui duas malhas paralelas após o indutor L_1. Vamos calcular a impedância equivalente de cada ramo antes de combiná-los.

• Ramo Central (Z_A): Série entre L_2 e C_1.
  Z_A = Z_{L2} + Z_{C1} = j200 - j100 = j100 \, \Omega
• Ramo Direito (Z_B): Série entre L_3 e C_2.
  Z_B = Z_{L3} + Z_{C2} = j100 - j400 = -j300 \, \Omega

Agora, calculamos a impedância equivalente (Z_p) dessas duas ramificações em paralelo:
Z_p = \frac{Z_A \cdot Z_B}{Z_A + Z_B} = \frac{(j100)(-j300)}{j100 - j300} = \frac{30000}{-j200} = j150 \, \Omega

2. Cálculo da Corrente Total (i)

A impedância total vista pela fonte (Z_{total}) é a soma do indutor L_1 com a parte paralela (Z_p):
Z_{total} = Z_{L1} + Z_p = j50 + j150 = j200 \, \Omega

Aplicando a Lei de Ohm no domínio fasorial para encontrar a corrente fasorial \mathbf{I}:
\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_s}{Z_{total}} = \frac{4}{j200} = \frac{4}{200} \angle -90^\circ = 0,02 \angle -90^\circ \text{ A}

Convertendo para o domínio do tempo:

• Magnitude: $0,02$ A = $20$ mA
• Fase: -90^\circ implica uma mudança de cosseno para seno (\cos(\theta - 90^\circ) = \sin(\theta)).

Portanto:
i(t) = 20 \sin(1000t) \text{ mA}

3. Cálculo da Tensão (v)

A tensão v está sobre o capacitor C_2. Primeiro, encontramos a tensão no nó intermediário (\mathbf{V}_p) que alimenta as duas malhas paralelas:
\mathbf{V}_p = \mathbf{I} \cdot Z_p = (0,02 \angle -90^\circ) \cdot (150 \angle 90^\circ) = 3 \angle 0^\circ \text{ V}

Em seguida, usamos o divisor de tensão no Ramo Direito (Z_B) para achar a tensão sobre C_2:
\mathbf{V} = \mathbf{V}_p \cdot \frac{Z_{C2}}{Z_{L3} + Z_{C2}} = 3 \cdot \frac{-j400}{-j300} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \angle 0^\circ \text{ V}

Como a fase é $0^\circ$, retorna-se diretamente à forma cosseno:
v(t) = 4 \cos(1000t) \text{ V}

Conclusão

A análise confirma os resultados fornecidos na imagem da questão. A transformação para o domínio complexo facilitou o tratamento das fases e magnitudes, resultando nos valores finais:

• Corrente: $20 \sin(1000t)$ mA
• Tensão: $4 \cos(1000t)$ V