Alternativa B
A Lei de Coulomb descreve a força eletrostática entre duas cargas pontuais. Para resolver este problema, utilizamos a forma vetorial da lei, que considera a direção, sentido e intensidade da interação.
Análise Matemática
- Identificação dos Dados:
- Carga 1: Q_1 = 1 \, nC = 1 \times 10^{-9} \, C
- Carga 2: Q_2 = -2 \, nC = -2 \times 10^{-9} \, C
- Posição 1: \vec{r}_1 = (0, 0, 0)
- Posição 2: \vec{r}_2 = (1, 1, 1)
- Constante eletrostática: k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2
- Cálculo do Vetor Posição e Distância:
- Vetor de posição relativo (\vec{r}_{12}): \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (1-0)a_x + (1-0)a_y + (1-0)a_z = (a_x + a_y + a_z).
- Módulo da distância (r): |\vec{r}_{12}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \, m.
- Vetor unitário (\hat{u}_{12}): \frac{\vec{r}_{12}}{r} = \frac{1}{\sqrt{3}}(a_x + a_y + a_z).
- Aplicação da Fórmula Vetorial:
\vec{F}_{12} = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \hat{u}_{12}
Substituindo os valores:
\vec{F}_{12} = (9 \times 10^9) \frac{(1 \times 10^{-9})(-2 \times 10^{-9})}{(\sqrt{3})^2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}}(a_x + a_y + a_z) \right]
Simplificando os coeficientes numéricos e potências de 10:
- Numerador: $9 \times 1 \times (-2) = -18$
- Potência de 10: $10^9 \times 10^{-9} \times 10^{-9} = 10^{-9}$
- Denominador (r^2): $3$
\text{Coeficiente escalar} = \frac{-18 \times 10^{-9}}{3} = -6 \times 10^{-9} \, N = -6 \, nN
Multiplicando pelo vetor unitário:
\vec{F}_{12} = \frac{-6}{\sqrt{3}} (a_x + a_y + a_z) \, nN
- Análise do Sinal:
Como as cargas têm sinais opostos (Q_1 positiva e Q_2 negativa), a força é atrativa. O vetor força deve apontar de Q_2 em direção a Q_1, ou seja, sentido negativo em relação ao vetor deslocamento original. Isso confirma o sinal negativo no resultado.
Conclusão
O cálculo resulta exatamente na expressão apresentada na opção B, considerando a atração entre cargas de sinais contrários e a geometria tridimensional do sistema.