Considere o campo H = -x aₓ + y aᵧ A/m no plano z = 0 calcule a densidade de corrente provocada por este campo.

Question

Considere o campo H = x aₓ + y aᵧ A/m no plano z = 0 calcule a densidade de corrente provocada por este campo. A) 1 A/m² B) 2 A/m² C) 1 A/m² D) 2 A/m² E) 0,75 A/m²

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa D $ 2 \, A/m^2$ Introdução e Fundamentação Teórica Para resolver esta questão, utilizamos a forma diferencial da Lei de Ampère , que relaciona diretamente a densidade de corrente elétrica ($\mathbf{J}$) com o campo magnético ($\mathbf{H}$). Conforme o próprio enunciado da questão nos alerta: A densidade de corrente é igual ao rotacional do campo magnético. Formulação matemática: $\mathbf{J} = 
abla 	imes \mathbf{H}$ Isso significa que precisamos calcular o operador rotacional sobre o vetor campo magnético fornecido. Desenvolvimento do Cálculo O campo magnético $\mathbf{H}$ é dado por: $$ \mathbf{H} = y \mathbf{a} x x \mathbf{a} y \, (	ext{A/m}) $$ Em coordenadas cartesianas, as componentes do vetor são: $H x = y$ $H y = x$ $H z = 0$ O cálculo do rotacional ($
abla 	imes \mathbf{H}$) é feito através do seguinte determinante: $$ 
abla 	imes \mathbf{H} = \begin{vmatrix} \mathbf{a} x & \mathbf{a} y & \mathbf{a} z \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ H x & H y & H z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{a} x & \mathbf{a} y & \mathbf{a} z \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ y & x & 0 \end{vmatrix} $$ Desenvolvemos termo a termo: 1. Componente em $\mathbf{a} x$: $$ \left( \frac{\partial H z}{\partial y} \frac{\partial H y}{\partial z} ight) = \frac{\partial (0)}{\partial y} \frac{\partial ( x)}{\partial z} = 0 0 = 0 $$ 2. Componente em $\mathbf{a} y$: $$ \left( \frac{\partial H z}{\partial x} \frac{\partial H x}{\partial z} ight) = \left( \frac{\partial (0)}{\partial x} \frac{\partial (y)}{\partial z} ight) = (0 0) = 0 $$ 3. Componente em $\mathbf{a} z$: $$ \left( \frac{\partial H y}{\partial x} \frac{\partial H x}{\partial y} ight) $$ Calculando as derivadas parciais: Derivada de $H y = x$ em relação a $x$: $\frac{\partial ( x)}{\partial x} = 1$ Derivada de $H x = y$ em relação a $y$: $\frac{\partial (y)}{\partial y} = 1$ Substituindo no termo: $$ ( 1) (1) = 2 $$ Portanto, o vetor densidade de corrente é: $$ \mathbf{J} = 2 \mathbf{a} z \, A/m^2 $$ Análise O cálculo resulta em um valor constante de $ 2$ na direção $\mathbf{a} z$. As unidades estão corretas ($A/m^2$), pois a densidade de corrente é medida em Amperes por metro quadrado. Comparando com as alternativas disponíveis: | Alternativa | Valor | Status | | : | : | : | | A | $ 1$ | Incorreta | | B | $2$ | Incorreta | | C | $1$ | Incorreta | | D | $ 2$ | Correta | | E | $0,75$ | Incorreta | Conclusão A densidade de corrente calculada é $ 2 \, A/m^2$, correspondendo à Alternativa D .

Explicação passo a passo

Introdução e Fundamentação Teórica

Desenvolvimento do Cálculo

Análise

Conclusão

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Alternativa	Valor	Status
A	$-1$	Incorreta
B	$2$	Incorreta
C	$1$	Incorreta
D	$-2$	Correta
E	$0,75$	Incorreta