Considere uma área do espaço vazio em forma de disco, como na figura a seguir, atravessado por um campo magnético variável $\vec{B}(t)$, perpendicular a essa área. Considerando um anel de raio $r$ pertencente a esse disco de espaço, como uma curva de Ampère, calcule o vetor campo elétrico induzido ao longo desse anel de raio $r$.

Introdução

O problema envolve a Lei de Faraday-Lenz, que relaciona o campo elétrico induzido a uma variação temporal do fluxo magnético.

Desenvolvimento

• Lei de Faraday: \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}
• Fluxo magnético: Para um campo magnético uniforme e perpendicular ao disco, \Phi_B = B(t) \cdot A = B(t) \cdot \pi r^2
• Caminho de integração: O anel de raio r (curva de Ampère) é tangencial ao campo elétrico induzido, que é azimutal (na direção \hat{\theta}).

Análise

• O campo elétrico induzido é constante ao longo do anel e tangencial: \vec{E} = E_\theta \hat{\theta}
• A integral de linha: \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E_\theta \cdot 2\pi r
• Substituindo na Lei de Faraday: E_\theta \cdot 2\pi r = -\frac{d}{dt}(B \cdot \pi r^2) = -\pi r^2 \frac{dB}{dt}
• Isolando E_\theta: E_\theta = -\frac{r}{2} \frac{dB}{dt}
• Portanto, \vec{E} = -\frac{r}{2} \frac{d|\vec{B}(t)|}{dt} \hat{\theta}

Conclusão

A alternativa correta é C, pois apresenta a expressão completa do campo elétrico induzido, incluindo a direção tangencial (\hat{\theta}) e a dependência linear com o raio r.