Alternativa A
Para resolver esta questão, precisamos calcular a energia armazenada no campo magnético dentro de um volume específico. O processo envolve determinar a permeabilidade magnética do meio, calcular a intensidade do vetor campo magnético ao quadrado e integrar essa densidade de energia sobre o volume dado.
Fundamentos Teóricos
A energia magnética total (W) armazenada em um volume é dada pela integração da densidade de energia (w_m) sobre esse volume:
W = \int_V w_m \, dV
A densidade de energia magnética é definida por:
w_m = \frac{1}{2} \mu |\mathbf{H}|^2
Onde:
- \mu é a permeabilidade magnética absoluta do meio.
- \mathbf{H} é o vetor intensidade do campo magnético.
Passo a Passo da Resolução
1. Determinação da Permeabilidade (\mu)
O enunciado fornece a susceptibilidade magnética \chi_m = 9. A permeabilidade relativa (\mu_r) é calculada como:
\mu_r = 1 + \chi_m = 1 + 9 = 10
A permeabilidade absoluta é \mu = \mu_r \mu_0, onde \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} (permeabilidade do vácuo):
\mu = 10 \times (4\pi \times 10^{-7}) = 40\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}
2. Cálculo do Módulo do Campo Magnético (|\mathbf{H}|^2)
O vetor campo magnético é dado por \mathbf{H} = 5xy\mathbf{a}_x + 2xy\mathbf{a}_y - 2\mathbf{a}_z.
Calculamos o quadrado da norma (soma dos quadrados das componentes):
|\mathbf{H}|^2 = (5xy)^2 + (2xy)^2 + (-2)^2
|\mathbf{H}|^2 = 25x^2y^2 + 4x^2y^2 + 4 = 29x^2y^2 + 4
3. Integração sobre o Volume
As coordenadas são limitadas por -1 < x < 2, $0 < y < 2$ e $0 < z < 1$. O volume é definido pelo diferencial dV = dx \, dy \, dz.
Substituindo na fórmula da energia:
W = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{-1}^{2} \frac{1}{2} \mu (29x^2y^2 + 4) \, dx \, dy \, dz
Como \mu é constante, tiramos os fatores constantes para fora da integral:
W = \frac{\mu}{2} \left[ \int_{0}^{1} dz \right] \left[ \int_{0}^{2} \int_{-1}^{2} (29x^2y^2 + 4) \, dx \, dy \right]
A integral em z resulta apenas em $1$. Agora resolvemos a parte espacial restante (como demonstrado no raciocínio interno):
- Integração em x: \int_{-1}^{2} (29x^2y^2 + 4) dx = 87y^2 + 12
- Integração em y: \int_{0}^{2} (87y^2 + 12) dy = 256
Portanto, o valor da integral espacial é 256.
4. Cálculo Final
Substituímos o resultado da integral de volta na equação da energia:
W = \frac{\mu}{2} \times 256 = 128 \mu
Substituindo o valor de \mu:
W = 128 \times (40\pi \times 10^{-7})
W = 5120\pi \times 10^{-7} \, \text{J}
W \approx 16084.9 \times 10^{-7} \, \text{J}
W \approx 1.608 \times 10^{-3} \, \text{J}
Convertendo para miliJoules (mJ), multiplicamos por 1000:
W \approx 1,608 \, \text{mJ}
Conclusão
O valor calculado corresponde exatamente à alternativa A.
Alternativa A