Dado o campo potencial V = 2x²y - 5z V, encontre o módulo da densidade de fluxo elétrico D no ponto P(-4, 3, 6).

Alternativa A

O objetivo é encontrar o módulo da densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} em um ponto específico, dado o potencial elétrico escalar V. Para resolver este problema, utilizamos as relações fundamentais do eletromagnetismo entre potencial, campo elétrico e densidade de fluxo.

Primeiramente, calculamos o campo elétrico \mathbf{E} a partir do potencial V usando o operador gradiente negativo. Em seguida, determinamos o valor desse vetor nas coordenadas do ponto P. Por fim, aplicamos a permissividade do vácuo para converter o campo elétrico em densidade de fluxo elétrico.

Análise

• Relação Potencial-Campo Elétrico: O campo elétrico é definido como o oposto do gradiente do potencial escalar:
  \mathbf{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)
• Cálculo das Derivadas Parciais: Dado V = 2x^2y - 5z:
• Derivada em x: \frac{\partial V}{\partial x} = 4xy
• Derivada em y: \frac{\partial V}{\partial y} = 2x^2
• Derivada em z: \frac{\partial V}{\partial z} = -5
• Montagem do Vetor Campo Elétrico:
  \mathbf{E} = -4xy\hat{i} - 2x^2\hat{j} + 5\hat{k}
• Substituição das Coordenadas de P(-4, 3, 6):
• E_x = -4(-4)(3) = 48 \ V/m
• E_y = -2(-4)^2 = -32 \ V/m
• E_z = 5 \ V/m
• Módulo de \mathbf{E}: |\mathbf{E}| = \sqrt{48^2 + (-32)^2 + 5^2} = \sqrt{3353} \approx 57,91 \ V/m
• Cálculo da Densidade de Fluxo Elétrico (\mathbf{D}):
  A relação é \mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}. Utilizando \epsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \ F/m:
  |\mathbf{D}| \approx 57,91 \times 8,854 \times 10^{-12} \ C/m^2 \approx 512,7 \ pC/m^2
  Nota: A variação pequena em relação à alternativa (511,8) deve-se à aproximação do valor de \epsilon_0 utilizada na questão.

Conclusão

O cálculo confirma que o módulo da densidade de fluxo elétrico está próximo de $512 \ pC/m^2$. Dentre as opções apresentadas, a Alternativa A é a única que se alinha com esse resultado.