Dado o vetor A = 1aₓ + 2aᵧ, calcule sua projeção sobre o vetor B = 5aₓ - aᵧ + 2a₂.

Resolução da Questão de Álgebra Vetorial

Esta questão aborda o cálculo da projeção de um vetor sobre outro, um conceito fundamental em eletromagnetismo e física vetorial. O objetivo é determinar quanto do vetor A atua na mesma direção do vetor B.

1. Conceito e Fórmulas

Para calcular a projeção, utilizamos o produto escalar e o módulo do vetor sobre o qual queremos projetar. Existem dois tipos comuns de projeção:

• Projeção Escalar: Um valor numérico que representa a componente de A na direção de B.
  P_{escalar} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}
• Vetor Projeção: Um vetor resultante que aponta na direção de B.
  \vec{P} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \right) \vec{B}

No contexto de questões objetivas sem especificação, geralmente busca-se a projeção escalar.

2. Dados do Problema

Identificamos os componentes dos vetores nas bases cartesianas (x, y, z):

• Vetor \vec{A} = 1\mathbf{a}_x + 2\mathbf{a}_y + 0\mathbf{a}_z \Rightarrow \vec{A} = (1, 2, 0)
• Vetor \vec{B} = 5\mathbf{a}_x - 1\mathbf{a}_y + 2\mathbf{a}_z \Rightarrow \vec{B} = (5, -1, 2)

3. Passo a Passo do Cálculo

Passo 1: Calcular o produto escalar (\vec{A} \cdot \vec{B})
Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:
\vec{A} \cdot \vec{B} = (1 \times 5) + (2 \times -1) + (0 \times 2)
\vec{A} \cdot \vec{B} = 5 - 2 + 0 = 3

Passo 2: Calcular o módulo do vetor B (|\vec{B}|)
Calculamos a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes de B:
|\vec{B}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2}
|\vec{B}| = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}

Passo 3: Aplicar a fórmula da projeção escalar
Substituímos os valores encontrados na fórmula principal:
\text{Projeção} = \frac{3}{\sqrt{30}}

Para racionalizar o denominador:
\frac{3\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{10} \approx 0,548

(Nota: Se a questão pedisse o vetor projeção, o resultado seria \frac{3}{30}\vec{B} = 0,1\vec{B} = 0,5\mathbf{a}_x - 0,1\mathbf{a}_y + 0,2\mathbf{a}_z)

Análise

• Produto Escalar: Representa o trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento ou a contribuição de um vetor na direção de outro. Aqui, o resultado positivo ($3$) indica que os vetores formam um ângulo agudo (menor que 90 graus).
• Módulo: Representa a magnitude total do vetor B, necessária para normalizar a projeção.
• Unidade: Como não foi especificada unidade física (Newtons, Volts/m, etc.), a resposta permanece adimensional ou conforme as unidades implícitas do sistema.

Conclusão

O valor da projeção escalar do vetor A sobre o vetor B é \frac{3}{\sqrt{30}} ou aproximadamente 0,548.