Dado um material no qual encontramos Xm = 3,1 com um fluxo magnético interno B = 0,4y a_z T, encontre a densidade de corrente no interior deste material.

Question

Dado um material no qual encontramos Xm = 3,1 com um fluxo magnético interno B = 0,4y a z T, encontre a densidade de corrente no interior deste material. A) 39,10 a x kA/m² B) 48,21 a x kA/m² C) 57,32 a x kA/m² D) 66,53 a x kA/m² E) 77,64 a x kA/m²

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa E Introdução O problema solicita o cálculo da densidade de corrente ($\mathbf{J}$) dentro de um material magnético específico, dado o vetor indução magnética ($\mathbf{B}$) e a susceptibilidade magnética ($\chi m$). Para resolver, utilizamos as relações fundamentais do eletromagnetismo entre os campos $\mathbf{B}$, $\mathbf{H}$ e a corrente livre. Desenvolvimento Primeiro, precisamos determinar o campo de intensidade magnética $\mathbf{H}$ a partir de $\mathbf{B}$. A relação é dada pela permeabilidade do material ($\mu$): $$ \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu 0 (1 + \chi m) \mathbf{H} $$ Sabendo que $\chi m = 3,1$, calculamos a permeabilidade relativa ($\mu r$): $$ \mu r = 1 + 3,1 = 4,1 $$ Isolando $\mathbf{H}$ e substituindo os valores dados ($\mathbf{B} = 0,4y \, \mathbf{a} z \, T$): $$ \mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu 0 \mu r} = \frac{0,4y}{4,1 \mu 0} \mathbf{a} z $$ A densidade de corrente livre $\mathbf{J}$ é obtida pelo rotacional de $\mathbf{H}$ (Lei de Ampère na forma diferencial): $$ \mathbf{J} = 
abla 	imes \mathbf{H} $$ Calculando o rotorial para um vetor com apenas componente $z$ dependendo de $y$: $$ \mathbf{J} = \frac{\partial H z}{\partial y} \mathbf{a} x $$ Derivando em relação a $y$: $$ \mathbf{J} = \frac{0,4}{4,1 \mu 0} \mathbf{a} x $$ Substituindo $\mu 0 = 4\pi 	imes 10^{ 7} \, T\cdot m/A$: $$ \mathbf{J} = \frac{0,4}{4,1 	imes 4\pi 	imes 10^{ 7}} \mathbf{a} x \approx 77.636 \, A/m^2 $$ Convertendo para $kA/m^2$: $$ \mathbf{J} \approx 77,64 \, \mathbf{a} x \, kA/m^2 $$ Análise Relação Material: O uso de $\mu = \mu 0(1+\chi m)$ é crucial para converter o fluxo $\mathbf{B}$ em campo $\mathbf{H}$ dentro do meio. Operador Rotacional: Como $\mathbf{B}$ varia linearmente com $y$ na direção $z$, seu rotacional gera uma componente constante na direção $x$. Unidades: A conversão de $A/m^2$ para $kA/m^2$ divide o valor por mil, confirmando a ordem de grandeza das opções. Direção Vetorial: A operação vetorial $
abla 	imes (H z \mathbf{a} z)$ resulta em uma direção $\mathbf{a} x$, eliminando qualquer opção com outra orientação. Conclusão O cálculo confirma que a densidade de corrente é aproximadamente $77,64 \, \mathbf{a} x \, kA/m^2$, correspondendo à alternativa E .

Explicação passo a passo

Introdução

Desenvolvimento

Análise

Conclusão

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