Esta é uma questão de Sinais e Sistemas, focada nos conceitos fundamentais de energia e potência de sinais contínuos. Como se trata de uma questão discursiva/cálculo (Questão Aberta), não há letras de alternativa para selecionar. Abaixo apresento a resolução passo a passo de cada item.
Análise Geral do Problema
O conjunto de questões aborda três cenários clássicos da teoria de sinais:
- O sinal periódico senoidal (energia infinita).
- Um sinal periódico definido por um polinômio cúbico (potência finita).
- Uma exponencial complexa (análise de convergência de integrais).
Item 1: Energia da Senoide
Resumo: O sinal g(t) = C \cos(\omega_0 t + \theta) possui energia infinita, pois é um sinal periódico que se estende no tempo indefinidamente.
Explicação:
A definição de energia de um sinal g(t) é dada pela integral do quadrado de sua magnitude ao longo de todo o tempo:
E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |g(t)|^2 dt
Substituindo a função dada:
E_g = \int_{-\infty}^{\infty} C^2 \cos^2(\omega_0 t + \theta) dt
Como a função cosseno oscila entre 0 e 1 continuamente e o intervalo de integração é infinito (-\infty a +\infty), a área sob a curva nunca converge para um valor finito. Portanto:
E_g = \infty
Nota: Este é um sinal de Potência, não de Energia.
Item 2: Potência e RMS do Sinal Periódico
Resumo: O sinal tem período T=4 e forma t^3. A potência média é \frac{64}{7}, e os valores RMS seguem propriedades de escala lineares/quadráticas.
Análise Gráfica e Definição:
Observando o gráfico fornecido:
- O sinal se repete a cada 4 unidades de tempo (ex: de t=-2 a t=2). Logo, o período é T = 4.
- Dentro de um período (ex: t \in [-2, 2]), a curva passa pela origem, vai até (2, 8) e (-2, -8). Isso corresponde à função g(t) = t^3.
Cálculo da Potência (P_g):
A potência média de um sinal periódico é dada por:
P_g = \frac{1}{T} \int_{T} |g(t)|^2 dt
Substituindo os dados:
P_g = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} (t^3)^2 dt = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} t^6 dt
Calculando a integral:
\int t^6 dt = \frac{t^7}{7}
P_g = \frac{1}{4} \left[ \frac{t^7}{7} \right]_{-2}^{2} = \frac{1}{28} (2^7 - (-2)^7)
P_g = \frac{1}{28} (128 - (-128)) = \frac{256}{28} = \frac{64}{7} \approx 9,14 \text{ W}
Valores RMS e Escalonamento:
O valor RMS (Root Mean Square) é a raiz quadrada da potência: V_{rms} = \sqrt{P}.
| Sinal | Relação com g(t) | Potência (P) | Valor RMS (\sqrt{P}) | Comentário |
|---|
| (a) -g(t) | Inversão de amplitude | P_g = \frac{64}{7} | Igual ao original | Mudança de fase de 180º não altera potência. |
| (b) $2g(t)$ | Multiplicação por 2 | $4 P_g = \frac{256}{7}$ | $2 \times V_{rms}$ | Potência escala com o quadrado do fator. |
| (c) c g(t) | Multiplicação por c | c^2 P_g | |c| \times V_{rms} | Propriedade geral de homogeneidade. |
Comentário Final:
A potência é sempre positiva e independente da polaridade do sinal (item a). Ao escalar a amplitude do sinal por um fator k, a potência é multiplicada por k^2, enquanto o valor RMS é multiplicado por |k|.
Item 3: Exponencial e^{-at}
Resumo: Para a real (a \neq 0), o sinal cresce exponencialmente em uma direção, tornando energia e potência infinitas. Para a imaginário puro, o módulo é constante, resultando em potência unitária.
Demonstração:
Caso 1: a é real.
Consideramos o sinal x(t) = e^{-at} definido de -\infty a +\infty.
- Se a > 0: Quando t \to -\infty, e^{-at} \to \infty. O sinal explode para trás no tempo.
- Se a < 0: Quando t \to +\infty, e^{-at} \to \infty. O sinal explode para frente no tempo.
A energia seria:
E = \int_{-\infty}^{\infty} |e^{-at}|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2at} dt
Em ambos os casos reais (exceto a=0), a integral diverge. Logo, E = \infty.
A potência média também diverge devido ao crescimento ilimitado do sinal.
Conclusão: Nem sinal de energia nem de potência.
Caso 2: a é imaginário.
Seja a = j\omega (onde j é a unidade imaginária).
O sinal torna-se x(t) = e^{-j\omega t}.
Pela fórmula de Euler, seu módulo é sempre 1:
|x(t)| = |e^{-j\omega t}| = 1
A energia continua sendo infinita (\int 1 dt = \infty).
A potência média é:
P_g = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |1|^2 dt = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} (2T) = 1
Conclusão: É um sinal de potência com P_g = 1, independente de \omega (valor de a).