Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no circuito RLC paralelo abaixo, considere R = 2/3 Ω, L = 1 H, C = 2/3 F, v(0) = 10 V e i(0) = 2 A.

Resumo da resposta
A resposta natural da tensão é v(t) = e^{-1.125 t} [10 \cos(0.484 t) - 29.43 \sin(0.484 t)] V. O circuito apresenta comportamento subamortecido, gerando uma onda senoidal cuja amplitude decai exponencialmente até zero.

Desenvolvimento da Solução

Para resolver este problema de circuito RLC paralelo, precisamos determinar a resposta natural sem fontes externas atuando para t > 0. O processo segue etapas lógicas baseadas na teoria de circuitos de segunda ordem.

1. Identificação dos Parâmetros do Circuito

Primeiro, extraímos os valores dados no enunciado e calculamos as constantes características do circuito:

• Resistência: R = 2/3 \, \Omega
• Indutância: L = 1 \, \text{H}
• Capacitância: C = 2/3 \, \text{F}

Calculamos a frequência neperiana (\alpha) e a frequência ressonante (\omega_0):

2. Classificação do Regime de Amortecimento

Comparamos \alpha e \omega_0 para saber o tipo de resposta:

• Se \alpha > \omega_0: Superamortecido (duas exponenciais reais).
• Se $\alpha = \omega_0*: Criticamente amortecido.
• Se \alpha < \omega_0: Subamortecido (oscilação).

Como $1.125 < 1.225$, o sistema é subamortecido. Isso significa que a tensão oscilará enquanto decai.

A frequência amortecida (\omega_d) é calculada por:
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{1.5 - (1.125)^2} \approx 0.484 \, \text{rad/s}

3. Formulação da Equação Geral

Para um regime subamortecido, a solução geral para a tensão v(t) é:
v(t) = e^{-\alpha t} [A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t)]

Substituindo os valores conhecidos:
v(t) = e^{-1.125 t} [A \cos(0.484 t) + B \sin(0.484 t)]

4. Aplicação das Condições Iniciais

Precisamos encontrar as constantes A e B usando as condições iniciais fornecidas.

Condição 1: Tensão inicial $v(0)$
Sabemos que v(0) = 10 \, \text{V}.
v(0) = e^0 [A \cdot 1 + B \cdot 0] = A \Rightarrow A = 10

Condição 2: Derivada inicial $v'(0)$
Utilizamos a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) no nó superior para t=0:
i_C(0) + i_R(0) + i_L(0) = 0
C \frac{dv(0)}{dt} + \frac{v(0)}{R} + i(0) = 0

Substituimos os valores (C=2/3, R=2/3, v(0)=10, i(0)=2):
\frac{2}{3} v'(0) + \frac{10}{2/3} + 2 = 0
\frac{2}{3} v'(0) + 15 + 2 = 0 \Rightarrow \frac{2}{3} v'(0) = -17
v'(0) = -17 \cdot \frac{3}{2} = -25.5 \, \text{V/s}

Agora, derivamos a equação geral de v(t) e avaliamos em t=0:
v'(t) = -\alpha e^{-\alpha t}[A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t)] + e^{-\alpha t}[-A \omega_d \sin(\omega_d t) + B \omega_d \cos(\omega_d t)]
Em t=0:
v'(0) = -\alpha A + B \omega_d
-25.5 = -1.125(10) + B(0.484)
-25.5 = -11.25 + 0.484 B
-14.25 = 0.484 B \Rightarrow B \approx -29.43

Conclusão

A expressão final para a resposta natural é:
v(t) = e^{-1.125 t} [10 \cos(0.484 t) - 29.43 \sin(0.484 t)] \, \text{V}, \quad t > 0

Descrição do Gráfico

O gráfico de v(t) possui as seguintes características visuais:

• Ponto de partida: Começa em (0, 10).
• Tendência inicial: Devido ao valor negativo e alto de B, a curva cai rapidamente logo após t=0.
• Oscilação: A função cruza o eixo horizontal várias vezes (comportamento senoidal).
• Envelope: A magnitude das oscilações diminui exponencialmente devido ao termo e^{-1.125 t}, convergindo para 0 V conforme t \to \infty.