Do ponto de vista magnetostático, estudo dos campos magnéticos estáticos em relação aos condutores que se encontram ao seus redor as duas leis mais importantes são a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère. Em ambos os casos, podemos inferir as características de um campo magnético próximo ao um condutor de corrente e vice-versa. Dados pontos C(-5, 3) e P(4, -1, 2) e considerando que um elemento diferencial de corrente IdL = 10⁻⁴(4, -3, 1)A · m no ponto C produz um campo dH no ponto P. Especifique a direção do elemento diferencial dH em relação a um vetor unitário aH (HAYT e BUCK, 2012).

Alternativa A

Esta questão envolve a aplicação da Lei de Biot-Savart na eletromagnetismo, especificamente para determinar a direção do campo magnético gerado por um elemento de corrente. Para resolver, precisamos seguir uma sequência lógica de vetores.

Análise Detalhada

Para encontrar a direção do vetor campo magnético d\mathbf{H}, utilizamos a forma vetorial da Lei de Biot-Savart. A direção depende fundamentalmente do produto vetorial entre o vetor do elemento de corrente e o vetor unitário que aponta da fonte até o ponto de observação.

1. Determinar o vetor posição \mathbf{R}_{CP}

O vetor que conecta o ponto onde a corrente está localizada (C) ao ponto onde medimos o campo (P) é dado por \mathbf{R}_{CP} = \vec{P} - \vec{C}.

• Coordenadas de C: (5, -2, 3)
• Coordenadas de P: (4, -1, 2)

2. Calcular o vetor unitário \mathbf{a}_{R}

Precisamos normalizar o vetor \mathbf{R}_{CP} para obter a direção pura, ignorando a distância.

• Magnitude |\mathbf{R}_{CP}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}

3. Calcular o Produto Vetorial

A direção do campo magnético é dada pela direção de (I d\mathbf{L}) \times \mathbf{a}_{R}.
Os dados fornecem I d\mathbf{L} \propto (4, -3, 1) (ignora-se o escalar $10^{-4}$ pois não altera a direção).

Realizamos o produto vetorial \mathbf{v} = (4\mathbf{a}_x - 3\mathbf{a}_y + 1\mathbf{a}_z) \times \frac{1}{\sqrt{3}}(-\mathbf{a}_x + \mathbf{a}_y - \mathbf{a}_z).

Calculando o determinante da matriz dos vetores unitários:
\mathbf{v} \propto \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z \\ 4 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}
(Nota: O fator $1/\sqrt{3}$ será considerado na normalização final)

• Componente x: ((-3)(-1) - (1)(1)) = 3 - 1 = 2
• Componente y: -((4)(-1) - (1)(-1)) = -(-4 + 1) = 3
• Componente z: ((4)(1) - (-3)(-1)) = 4 - 3 = 1

O vetor resultante bruto é \mathbf{V}_{bruto} = 2\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_y + 1\mathbf{a}_z.

4. Normalizar para obter o vetor unitário \mathbf{a}_H

Para encontrar a direção exata solicitada (\mathbf{a}_H), dividimos o vetor resultante pela sua própria magnitude.

• Magnitude de \mathbf{V}_{bruto}: |\mathbf{V}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3.7416

Dividindo cada componente por \sqrt{14}:

• x: \frac{2}{3.7416} \approx 0.5345
• y: \frac{3}{3.7416} \approx 0.8018
• z: \frac{1}{3.7416} \approx 0.2672

Arredondando para três casas decimais, obtemos:
\mathbf{a}_H \approx 0.534\mathbf{a}_x + 0.802\mathbf{a}_y + 0.267\mathbf{a}_z

Isso corresponde exatamente à Alternativa A.