Exercício 76: Um cilindro muito longo de raio R possui uma distribuição volumétrica de cargas uniforme ρ. Determine o módulo do campo elétrico para (a) r < R e (b) r > R.

Exercício 76: Campo Elétrico de Cilindro Carregado

Resumo da Resposta

O campo elétrico de um cilindro longo com densidade volumétrica uniforme é determinado pela Lei de Gauss:

Desenvolvimento Teórico

Lei de Gauss

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga contida no interior:

Para simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial ao cilindro carregado.

Considerações Importantes

• O cilindro é muito longo → podemos considerar simetria infinita
• A distribuição de carga é uniforme → \rho constante
• Por simetria, \vec{E} é radial e perpendicular ao eixo do cilindro
• Não há fluxo pelas bases → apenas a superfície lateral contribui

Análise Detalhada

(a) Para r < R (dentro do cilindro)

1. Superfície gaussiana: cilindro de raio r e comprimento L
2. Carga encerrada:
   Q_{\text{enc}} = \rho \times V_{\text{cilindro}} = \rho \pi r^2 L
3. Fluxo elétrico:
   \Phi_E = E \times A_{\text{lateral}} = E \times 2\pi r L
4. Aplicando Lei de Gauss:
   E \times 2\pi r L = \frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0}
5. Resultado:
   E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}

(b) Para r > R (fora do cilindro)

1. Superfície gaussiana: cilindro de raio r e comprimento L
2. Carga encerrada (apenas até R):
   Q_{\text{enc}} = \rho \pi R^2 L
3. Fluxo elétrico:
   \Phi_E = E \times 2\pi r L
4. Aplicando Lei de Gauss:
   E \times 2\pi r L = \frac{\rho \pi R^2 L}{\varepsilon_0}
5. Resultado:
   E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}

Conclusão

O comportamento do campo elétrico mostra:

• Dentro (r < R): O campo cresce linearmente com r (como em uma mola)
• Fora (r > R): O campo decai como $1/r$ (similar a um fio infinito)
• No limite r = R, ambas as expressões coincidem: E = \frac{\rho R}{2\varepsilon_0}

⚠️ Observação: O enunciado original apresenta formatação incompleta nas respostas. As expressões corretas devem incluir o fator $1/2$ e a permissividade do vácuo \varepsilon_0.