Resolução da Questão: Circuito RC Série
A tensão no capacitor é dada por V_c(t) = 50(1 - e^{-t/100}) Volts e a corrente pelo circuito é I(t) = 0,25e^{-t/100} Amperes.
Introdução ao Problema
Este exercício trata do comportamento de um circuito RC em série durante o processo de carregamento de um capacitor. O objetivo é encontrar as funções matemáticas que descrevem como a corrente elétrica e a tensão variam ao longo do tempo após a conexão de uma fonte de tensão contínua.
Para resolver, precisamos identificar os parâmetros dados e calcular a constante de tempo do circuito, que define a velocidade dessa variação.
Desenvolvimento dos Cálculos
Primeiro, listamos os valores fornecidos no enunciado:
- Resistência (R): $200 \, \Omega$
- Capacitância (C): $0,5 \, \text{F}$
- Tensão da Fonte (\mathcal{E}): $50 \, \text{V}$
1. Cálculo da Constante de Tempo (\tau)
A constante de tempo representa o tempo necessário para o capacitor carregar aproximadamente 63,2% da tensão total. É calculada pelo produto da resistência pela capacitância:
\tau = R \times C
Substituindo os valores:
\tau = 200 \, \Omega \times 0,5 \, \text{F} = 100 \, \text{s}
Isso significa que o sistema é bastante lento, demorando 100 segundos para atingir essa marca inicial de carga.
2. Determinação da Tensão no Capacitor (V_c(t))
Em um circuito RC de carga, a tensão no capacitor cresce exponencialmente em direção à tensão da fonte, seguindo a fórmula:
V_c(t) = \mathcal{E} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)
Ao substituir \mathcal{E} = 50 e \tau = 100:
V_c(t) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{t}{100}} \right) \, \text{V}
3. Determinação da Corrente (I(t))
A corrente inicia-se no máximo quando o capacitor está descarregado (atuando como um curto-circuito) e decai exponencialmente até zero quando o capacitor está totalmente carregado (atuando como um circuito aberto). A fórmula geral é:
I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}
Calculando a corrente inicial máxima (I_0):
I_0 = \frac{50}{200} = 0,25 \, \text{A}
Assim, a função da corrente é:
I(t) = 0,25 e^{-\frac{t}{100}} \, \text{A}
Análise
- Comportamento Inicial (t=0): No instante exato em que a chave fecha, o capacitor não tem carga, então a tensão nele é zero (V_c=0). Toda a tensão de 50 V cai sobre o resistor, gerando a corrente máxima de 0,25 A.
- Comportamento Final (t \to \infty): Após muito tempo, o capacitor fica totalmente carregado. A tensão no capacitor iguala-se à fonte (50 V), impedindo a passagem de mais cargas. Consequentemente, a corrente torna-se nula.
- Unidades: Note que a unidade de tempo t deve estar em segundos, pois a constante de tempo foi calculada em segundos. Se usarmos minutos ou horas, a fórmula precisaria de conversão.
Conclusão
As expressões determinadas descrevem a evolução temporal do circuito. O capacitor armazena energia gradualmente, enquanto a corrente que alimenta esse armazenamento diminui progressivamente até cessar.