Esta é uma questão de análise de circuitos elétricos de segunda ordem (RLC Série) envolvendo resposta natural com amortecimento crítico. Abaixo está a resolução passo a passo.
Análise do Problema
O circuito é um sistema RLC série livre (sem fonte externa), onde a energia armazenada inicialmente nos componentes se dissipa ao longo do tempo. O estado de amortecimento crítico simplifica a equação característica, resultando em uma resposta exponencial única sem oscilações.
1. Determinação do Valor de R (Parte a)
Para amortecimento crítico em um circuito RLC série, a frequência de neper (\alpha) deve ser igual à frequência ressonante (\omega_0).
- Fórmula do fator de amortecimento: \alpha = \frac{R}{2L}
- Fórmula da frequência natural: \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
- Condição Crítica: \alpha = \omega_0 \Rightarrow \frac{R}{2L} = \frac{1}{\sqrt{LC}}
Isolando R:
R = 2\sqrt{\frac{L}{C}}
Substituindo os valores dados (L = 125 \text{ mH}, C = 320 \text{ nF}):
R = 2\sqrt{\frac{125 \times 10^{-3}}{320 \times 10^{-9}}} = 2\sqrt{\frac{125}{320} \times 10^6} = 2 \times \frac{5}{8} \times 1000 = 1250 \, \Omega
Resposta (a): R = 1250 \, \Omega ou $1,25 \text{ k}\Omega$.
2. Condições Iniciais Imediatas (Parte b)
As grandezas não podem mudar instantaneamente em indutores e capacitores.
- Corrente no indutor: i(0^+) = i_L(0^-) = 6 \text{ mA} = 0,006 \text{ A}.
- Tensão no capacitor: v_C(0^+) = v_C(0^-) = 15 \text{ V}.
Para encontrar di/dt(0^+), aplicamos a Lei das Tensões de Kirchhoff (KVL) na malha fechada imediatamente após o fechamento da chave (t=0^+). Considerando a polaridade indicada (positivo na parte inferior do capacitor):
v_C(0^+) - i(0^+)R - L \frac{di}{dt}(0^+) = 0
15 - (0,006)(1250) - 0,125 \frac{di}{dt}(0^+) = 0
15 - 7,5 = 0,125 \frac{di}{dt}(0^+) \Rightarrow 7,5 = 0,125 \frac{di}{dt}(0^+)
\frac{di}{dt}(0^+) = \frac{7,5}{0,125} = 60 \text{ A/s}
Resposta (b): i(0^+) = 6 \text{ mA} e \frac{di}{dt}(0^+) = 60 \text{ A/s}.
3. Determinação da Tensão v_c(t) (Parte c)
Como o circuito é criticamente amortecido, a forma geral da solução para v_c(t) é:
v_c(t) = (A_1 t + A_2) e^{-\alpha t}
Onde \alpha = \frac{R}{2L} = 5000 \text{ Np/s}.
Determinando A_2 (condição de posição):
v_c(0) = A_2 = 15 \text{ V}
Determinando A_1 (condição de velocidade):
Precisamos da derivada da tensão em t=0. Pela relação entre corrente e tensão no capacitor (considerando que a corrente entra no terminal negativo):
i(t) = -C \frac{dv_c}{dt} \Rightarrow \frac{dv_c}{dt}(0) = -\frac{i(0)}{C}
\frac{dv_c}{dt}(0) = -\frac{0,006}{320 \times 10^{-9}} = -18750 \text{ V/s}
Derivando a expressão geral de v_c(t) e avaliando em t=0:
\frac{dv_c}{dt}(0) = A_1 - \alpha A_2
-18750 = A_1 - 5000(15)
-18750 = A_1 - 75000
A_1 = 56250
Resposta (c):
v_c(t) = (56250 t + 15) e^{-5000 t} \text{ V}, \quad t \geq 0