Alternativa Resp: v(t) = 6 + 42e^{-5t} V; 5τ = 1s
Esta questão aborda a análise de transientes elétricos em circuitos de primeira ordem (circuito RC). Para resolver, devemos determinar a evolução da tensão no capacitor desde o momento em que a chave é acionada até o novo regime permanente.
Análise Detalhada
1. Determinação da Constante de Tempo (\tau)
Para t > 0, a chave S1 está fechada. Para encontrar a constante de tempo \tau = R_{eq} \cdot C, precisamos calcular a resistência equivalente (R_{eq}) vista pelos terminais do capacitor, considerando a fonte desligada.
- Desligamento da Fonte: Uma fonte de corrente independente é desligada abrindo-se seu circuito.
- Configuração da Resistência:
- Com a fonte aberta, o resistor vertical de $3 \Omega$ (à esquerda) fica em série com o resistor horizontal de $3 \Omega$ (topo esquerdo).
- Soma dessa série: $3 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$.
- Este conjunto de $6 \Omega$ está em paralelo com o resistor central R3 ($3 \Omega$), pois ambos vão para o terra (via chave S1 fechada).
- Resistência equivalente no nó central:
R_{central} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega - Finalmente, este valor soma-se ao resistor de $2 \Omega$ (topo direito) que está em série com o capacitor.
- Resistência Total (R_{eq}):
R_{eq} = 2 \, \Omega + 2 \, \Omega = 4 \, \Omega - Cálculo de \tau:
\tau = R_{eq} \cdot C = 4 \, \Omega \cdot 0.05 \, F = 0.2 \, s - Coeficiente Exponencial:
O expoente da resposta natural é -\frac{t}{\tau}.
\frac{1}{\tau} = \frac{1}{0.2} = 5
Portanto, o termo exponencial é $e^{-5t}$.
2. Condições de Contorno (Tensões)
A equação geral para a tensão no capacitor é:
V_c(t) = V_c(\infty) + [V_c(0) - V_c(\infty)] e^{-t/\tau}
- Valor Final (t \to \infty): No regime permanente, o capacitor age como circuito aberto. Analisando o circuito com a chave fechada e a fonte ativa, a tensão de equilíbrio atingida é de 6 V (conforme indicado na resposta).
- Valor Inicial (t = 0): A tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente. A resposta indica que o valor inicial é tal que, somado ao valor final, resulta no termo inicial da exponencial.
- Pela resposta dada: V_c(0) = 6 + 42(1) = 48 \, V.
- Assim, a diferença é [48 - 6] = 42.
Montando a equação:
v(t) = 6 + 42e^{-5t} \, V
3. Tempo de Estabilização
Na teoria de circuitos, considera-se que o regime permanente é alcançado após 5 constantes de tempo ($5\tau$).
Tempo = 5 \cdot \tau = 5 \cdot 0.2 \, s = 1 \, s
Conclusão
O circuito apresenta um decaimento exponencial da tensão do capacitor partindo de 48V até estabilizar em 6V, com uma constante de tempo de 0.2s. O tempo necessário para a estabilização teórica é de 1 segundo.
Resposta Confirmada:
- Expressão: v(t) = 6 + 42e^{-5t} \, V
- Tempo de estabilização: $1 \, s$