O circuito da figura encontra-se em regime estacionário. As correntes são dadas por: i₁(t) = 744cos(2t – 118°) mA e i₂(t) = 540,5cos(2t + 100°) mA. Determine a corrente estacionária i(t).

Análise da Questão

Esta questão trata de Análise de Circuitos Elétricos em regime permanente senoidal. O objetivo é determinar a corrente total i(t) em um nó específico utilizando a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) e operações com fasores.

Fundamentação Teórica

1. Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK)

A LCK estabelece que a soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem dele. Observando o diagrama esquemático fornecido:

• A corrente i_1(t) entra no nó (seta apontando para a direita).
• A corrente i_2(t) entra no nó (seta apontando para a esquerda).
• A corrente i(t) sai do nó (seta apontando para baixo).

Portanto, a equação nodal é:
i(t) = i_1(t) + i_2(t)

2. Operações com Fasores

Como as duas correntes têm a mesma frequência angular (\omega = 2 rad/s), podemos somá-las usando números complexos (fasores) em vez de funções trigonométricas diretamente, o que simplifica drasticamente os cálculos.

Um fasor A \cos(\omega t + \phi) é representado como A \angle \phi.

Cálculo Detalhado

Passo 1: Representação Fasorial
Convertendo as expressões temporais dadas para o domínio complexo (forma polar):

• Para i_1(t) = 744 \cos(2t - 118^\circ) mA:
  \mathbf{I}_1 = 744 \angle -118^\circ \text{ mA}
• Para i_2(t) = 540,5 \cos(2t + 100^\circ) mA:
  \mathbf{I}_2 = 540,5 \angle 100^\circ \text{ mA}

Passo 2: Conversão para Forma Retangular
Para somar os fasores, convertemos para a forma x + jy:

• \mathbf{I}_1:
  \mathbf{I}_1 = 744 [\cos(-118^\circ) + j\sin(-118^\circ)]
  \mathbf{I}_1 \approx 744 [-0.4695 - j0.8829]
  \mathbf{I}_1 \approx -349.3 - j656.9 \text{ mA}
• \mathbf{I}_2:
  \mathbf{I}_2 = 540,5 [\cos(100^\circ) + j\sin(100^\circ)]
  \mathbf{I}_2 \approx 540,5 [-0.1736 + j0.9848]
  \mathbf{I}_2 \approx -93.9 + j532.3 \text{ mA}

Passo 3: Soma dos Fasores (\mathbf{I} = \mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2)
Somamos as partes reais e imaginárias separadamente:

• Parte Real: -349.3 + (-93.9) = -443.2
• Parte Imaginária: -656.9 + 532.3 = -124.6

Passo 4: Conversão de Volta para Forma Polar
Calculamos o módulo (amplitude) e o ângulo (fase) do fasor resultante:

• Amplitude (|\mathbf{I}|):
  |\mathbf{I}| = \sqrt{(-443.2)^2 + (-124.6)^2}
  |\mathbf{I}| = \sqrt{196426 + 15525} \approx \sqrt{211951} \approx 460.4 \text{ mA}
• Ângulo (\theta):
  \theta = \arctan\left(\frac{-124.6}{-443.2}\right)
  Como ambas as partes são negativas, o vetor está no 3º quadrante.
  \theta = \arctan(0.281) - 180^\circ
  \theta \approx 15.7^\circ - 180^\circ = -164.3^\circ

Passo 5: Expressão Temporal Final
Transformamos o fasor \mathbf{I} = 460.4 \angle -164.3^\circ de volta para o domínio do tempo:
i(t) = 460.4 \cos(2t - 164.3^\circ) \text{ mA}

Conclusão

A corrente estacionária i(t) é dada aproximadamente por:

Alternativa correta: i(t) = 460.4 \cos(2t - 164.3^\circ) mA