O circuito da figura está no regime estacionário antes que a chave seja fechada no instante t=0. A entrada do circuito é a tensão fonte de tensão, 12V. A saída é a tensão do capacitor, v(t). Determine v(t) para t>0.

Esta é uma questão clássica de análise de circuitos elétricos, especificamente sobre a resposta transitória de um circuito de primeira ordem (RC).

Para resolver, utilizamos a equação geral da resposta temporária para tensão no capacitor:

onde:

• v(0) é a tensão inicial no capacitor.
• v(\infty) é a tensão final (regime permanente após t>0).
• \tau é a constante de tempo do circuito (\tau = R_{eq} \cdot C).

Análise Passo a Passo

1. Determinação da Tensão Inicial v(0) (antes de t=0)

No instante anterior ao fechamento da chave (t < 0), o circuito está em regime estacionário.

• Estado da Chave: Aberta.
• Comportamento do Capacitor: Em corrente contínua (CC) em regime permanente, o capacitor comporta-se como um circuito aberto.
• Análise do Circuito: A corrente percorre a fonte, o resistor superior ($6\,\Omega$), o resistor vertical ($6\,\Omega$) e o resistor inferior ($6\,\Omega$), todos em série.
• Resistência Total: R_{total} = 6 + 6 + 6 = 18\,\Omega.
• Corrente no circuito: i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{12\,V}{18\,\Omega} = \frac{2}{3}\,A.
• Tensão no Capacitor: Como o capacitor está em paralelo com o resistor vertical de $6\,\Omega$, a tensão é a mesma:
  v(0) = i \times 6\,\Omega = \frac{2}{3} \times 6 = 4\,V

2. Determinação da Tensão Final v(\infty) (após t \to \infty)

Após a chave ser fechada, o circuito evolui até um novo estado de equilíbrio.

• Estado da Chave: Fechada.
• Efeito da Chave: Ela cria um curto-circuito sobre o resistor superior de $6\,\Omega$, fazendo com que a corrente o desvie completamente (ele é ignorado).
• Análise do Circuito: Agora, a corrente passa pela fonte, atravessa a chave (curto), passa pelo resistor vertical ($6\,\Omega$) e retorna pelo resistor inferior ($6\,\Omega$).
• Resistência Total: R'_{total} = 6 + 6 = 12\,\Omega.
• Nova Corrente: i' = \frac{12\,V}{12\,\Omega} = 1\,A.
• Tensão Final: Novamente, a tensão do capacitor é a tensão sobre o resistor vertical:
  v(\infty) = i' \times 6\,\Omega = 1 \times 6 = 6\,V

3. Determinação da Constante de Tempo \tau

Para encontrar \tau para o intervalo t > 0, precisamos da resistência equivalente (R_{eq}) vista pelos terminais do capacitor, desativando a fonte (curto-circuitando a fonte de tensão).

• Cálculo de R_{eq}:
• Ao curtar a fonte, o polo positivo e negativo se unem.
• O resistor vertical de $6\,\Omega$ conecta os terminais do capacitor.
• O resistor inferior de $6\,\Omega$ também conecta os terminais do capacitor (um lado ao polo negativo da fonte e o outro ao polo positivo da fonte via chave fechada, que une tudo).
• Portanto, os dois resistores de $6\,\Omega$ ficam em paralelo:
  R_{eq} = 6\,\Omega \parallel 6\,\Omega = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\,\Omega
• Cálculo de \tau:
• Capacitância C = 250\,mF = 0,25\,F.
  \tau = R_{eq} \cdot C = 3\,\Omega \cdot 0,25\,F = 0,75\,s
• O coeficiente do expoente é \frac{1}{\tau}:
  \frac{1}{\tau} = \frac{1}{0,75} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3} \approx 1,33\,s^{-1}

4. Construção da Equação Final

Substituindo os valores calculados na equação geral:

Isso confirma exatamente a resposta fornecida no enunciado.

Resumo da Solução

A resolução baseia-se na análise do comportamento do capacitor em dois momentos distintos: antes e depois do chaveamento.

Resposta Final:
v(t) = 6 - 2e^{-1,33t}\,V