O estudo dos campos magnéticos no interior de materiais permite relacionar a densidade de corrente com o campo magnético e este com a densidade de fluxo. Principalmente por que conseguimos entender como funcionam características intrínsecas de um material como a suscetibilidade e a permeabilidade. Dado um material no qual encontramos X{mm} = 3,1 com um fluxo magnético interno B = 0,4y a{z} encontre a densidade de corrente no interior deste material.

Alternativa E

Para resolver esta questão, precisamos encontrar a densidade de corrente livre (\mathbf{J}) dentro do material magnético. Isso é feito utilizando a Lei de Ampère na forma diferencial aplicada a materiais magnéticos.

Fundamentação Teórica

A relação entre os campos magnéticos em um material linear envolve três grandezas principais:

• Indução Magnética (\mathbf{B}): O campo de fluxo dado no enunciado.
• Intensidade do Campo Magnético (\mathbf{H}): Relacionada a \mathbf{B} pela permeabilidade do material.
• Densidade de Corrente Livre (\mathbf{J}): Encontrada pelo rotacional de \mathbf{H}.

As equações fundamentais são:

1. \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0 (1 + \chi_m) \mathbf{H}
2. \mathbf{J} = \nabla \times \mathbf{H}

Onde:

• \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ($4\pi \times 10^{-7}$ H/m).
• \chi_m é a suscetibilidade magnética (dada como 3,1).
• \mu_r = 1 + \chi_m é a permeabilidade relativa.

Passo a Passo do Cálculo

1. Calcular a Permeabilidade Relativa (\mu_r):
\mu_r = 1 + \chi_m = 1 + 3,1 = 4,1

2. Determinar o vetor \mathbf{H}:
Isolamos \mathbf{H} na primeira equação fundamental:
\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0 \mu_r}

Substituindo os valores dados (\mathbf{B} = 0,4y \, \mathbf{a}_z):
\mathbf{H} = \frac{0,4y \, \mathbf{a}_z}{4\pi \times 10^{-7} \times 4,1}

3. Calcular a Densidade de Corrente (\mathbf{J}):
Aplicamos o operador rotacional (\nabla \times) sobre \mathbf{H}. Como \mathbf{H} possui apenas componente z que depende de y:
\mathbf{J} = \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial H_z}{\partial y} \mathbf{a}_x

Derivando H_z em relação a y:
\frac{\partial H_z}{\partial y} = \frac{0,4}{4\pi \times 10^{-7} \times 4,1}

4. Executar a conta numérica:
J = \frac{0,4}{51,522 \times 10^{-7}} \, \mathbf{a}_x
J \approx 77.636 \times 10^3 \, \text{A/m}^2 \, \mathbf{a}_x
J \approx 77,64 \, \text{kA/m}^2 \, \mathbf{a}_x

Conclusão

O valor calculado para a densidade de corrente é aproximadamente $77,64 \, \mathbf{a}_x \, \text{kA/m}^2$. Portanto, a alternativa correta é a E.