Para o circuito apresentado, determine a tensão no indutor, para t>0, ou seja, vL(t).

Alternativa A

Para determinar a tensão no indutor v_L(t), utilizaremos a Transformada de Laplace, convertendo o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa (s).

Análise do Circuito no Domínio s

Primeiro, convertemos os elementos passivos para suas impedâncias equivalentes em s:

• Fonte de Tensão: $4u(t) \Rightarrow V(s) = \frac{4}{s}$
• **Indutor ($1\text{ H}):** $Z_L = sL = s(1) = s
• **Capacitor ($1/2\text{ F}):** $Z_C = \frac{1}{sC} = \frac{1}{s(1/2)} = \frac{2}{s}
• Resistores: Mantêm seus valores (R_1=2\,\Omega, R_2=1\,\Omega, R_3=2\,\Omega).

1. Cálculo das Impedâncias dos Ramos:
O circuito possui dois ramos paralelos conectados a um resistor de $2\,\Omega$ em série com a fonte.

• Ramo Central (Resistor + Capacitor):
  Z_{central} = 1 + \frac{2}{s} = \frac{s+2}{s}
• Ramo Direito (Resistor + Indutor):
  Z_{direita} = 2 + s

2. Impedância Equivalente do Paralelo (Z_p):
Calculamos a impedância resultante da conexão em paralelo entre os ramos central e direito:
Z_p = \frac{Z_{central} \cdot Z_{direita}}{Z_{central} + Z_{direita}}

Substituindo os valores:
Z_p = \frac{\left(\frac{s+2}{s}\right)(s+2)}{\frac{s+2}{s} + (s+2)} = \frac{\frac{(s+2)^2}{s}}{\frac{s+2 + s(s+2)}{s}} = \frac{(s+2)^2}{(s+2)(1+s)} = \frac{s+2}{s+1}

3. Tensão no Nó Comum (V_x):
Aplicamos o divisor de tensão considerando o resistor da fonte ($2\,\Omega$) e a impedância equivalente Z_p:
V_x(s) = V(s) \cdot \frac{Z_p}{2 + Z_p}
V_x(s) = \frac{4}{s} \cdot \frac{\frac{s+2}{s+1}}{2 + \frac{s+2}{s+1}} = \frac{4}{s} \cdot \frac{s+2}{2(s+1) + (s+2)} = \frac{4}{s} \cdot \frac{s+2}{3s+4}

4. Tensão no Indutor (V_L):
No ramo direito, a tensão V_x se divide entre o resistor de $2\,\Omega$ e o indutor s. Aplicamos o divisor de tensão novamente para isolar o indutor:
V_L(s) = V_x(s) \cdot \frac{Z_L}{Z_{direita}} = \left[ \frac{4}{s} \cdot \frac{s+2}{3s+4} \right] \cdot \frac{s}{s+2}

Simplificando a expressão (cancelando s e s+2):
V_L(s) = \frac{4}{3s+4}

5. Transformada Inversa de Laplace:
Colocamos a expressão na forma padrão \frac{K}{s+a} para facilitar a inversão:
V_L(s) = \frac{4}{3(s + 4/3)} = \frac{4/3}{s + 4/3}

Sabendo que \mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s+a} \} = e^{-at}, obtemos:
v_L(t) = \frac{4}{3} e^{-4t/3}

Portanto, a alternativa correta é a A.