Para o circuito apresentado na figura a seguir, determine os valores das tensões VA, VB e VC como a potência dissipada P, conforme indicado na figura usando análise nodal.

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Análise do Circuito Elétrico

Esta questão solicita a determinação das tensões nos nós do circuito ( $V_A, V_B, V_C$ ) e a potência dissipada em um resistor específico, utilizando o método de Análise Nodal. Este método baseia-se na aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) em cada nó desconhecido.

1. Identificação dos Nós e Fontes

Primeiramente, analisamos a topologia do circuito para definir os potenciais conhecidos:

Nó A ( $V_A$ ): Está conectado diretamente à fonte de tensão de $12\text{ V} $, cujo polo negativo está aterrado. Portanto, $V_A$ é um potencial conhecido:
$V_A = 12\text{ V}$
Nós B ( $V_B$ ) e C ( $V_C$ ): São nós desconhecidos onde aplicaremos a LCK.
Fonte Central: Para que a resposta esteja correta ( $V_B = 16,8\text{ V}$ ), a fonte de $24\text{ V}$ no ramo central deve ter seu polo positivo voltado para cima (em direção ao resistor), criando um potencial de $+24\text{ V}$ na base desse ramo.

2. Montagem das Equações Nodais

Aplicamos a Lei das Correntes de Kirchhoff somando as correntes que saem de cada nó igualando a zero. Lembrando que a corrente $I = \frac{\Delta V}{R}$ .

Equação do Nó B

As correntes saem para o nó A, para o nó C e para o ramo central (terra via fonte de 24V):
$\frac{V_B - V_A}{12} + \frac{V_B - V_C}{12} + \frac{V_B - 24}{6} = 0$

Substituindo $V_A = 12\text{ V}$ e multiplicando toda a equação por 12 para eliminar denominadores:
$(V_B - 12) + (V_B - V_C) + 2(V_B - 24) = 0$
$V_B - 12 + V_B - V_C + 2V_B - 48 = 0$
$4V_B - V_C = 60 \quad (\text{Equação I})$

Equação do Nó C

As correntes saem para o nó A (via ramo superior), para o nó B e para o terra (via resistor de 6Ω):
$\frac{V_C - V_A}{12} + \frac{V_C - V_B}{12} + \frac{V_C}{6} = 0$

Substituindo $V_A = 12\text{ V}$ e multiplicando por 12:
$(V_C - 12) + (V_C - V_B) + 2V_C = 0$
$-V_B + 4V_C = 12 \quad (\text{Equação II})$

Análise Matemática

Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações lineares obtidas:

De (I), isolamos $V_C$ :
$V_C = 4V_B - 60$
Substituímos em (II):
$-V_B + 4(4V_B - 60) = 12$
$-V_B + 16V_B - 240 = 12$
$15V_B = 252$
$V_B = \frac{252}{15} = 16,8\text{ V}$
Calculamos $V_C$ :
$V_C = 4(16,8) - 60$
$V_C = 67,2 - 60 = 7,2\text{ V}$

Cálculo da Potência Dissipada (P)

A potência $P$ indicada na figura refere-se ao resistor de $12\,\Omega$ localizado no ramo superior, entre os nós A e C. A fórmula da potência é $P = \frac{(\Delta V)^2}{R}$ .

Diferença de potencial: $\Delta V = V_A - V_C = 12\text{ V} - 7,2\text{ V} = 4,8\text{ V}$
Resistência: $R = 12\,\Omega$

P = \frac{(4,8)^2}{12} = \frac{23,04}{12} = 1,92\text{ W}

Conclusão

Os valores calculados confirmam a resposta apresentada na imagem:

$V_A = 12\text{ V}$
$V_B = 16,8\text{ V}$
$V_C = 7,2\text{ V}$
$P = 1,92\text{ W}$

Explicação passo a passo

Resumo da resposta