Alternativa D - $2,122 a_z \text{ kA/m}$
Introdução ao Problema
Esta questão envolve conceitos fundamentais de eletromagnetismo, especificamente a relação entre o vetor densidade de fluxo magnético (\vec{B}), o vetor intensidade de campo magnético (\vec{H}) e o vetor magnetização (\vec{M}) dentro de um meio material.
O objetivo é calcular a magnetização (\vec{M}) dadas a permeabilidade relativa (\mu_r) e a densidade de fluxo (\vec{B}).
Desenvolvimento do Cálculo
1. Fórmulas Fundamentais
Para resolver, utilizamos as seguintes relações constitutivas dos materiais magnéticos:
- Relação entre Fluxo e Campo:
\vec{B} = \mu \vec{H} = \mu_0 \mu_r \vec{H}
Onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ($4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$). - Definição de Magnetização:
A magnetização está relacionada à diferença entre o campo total e o campo externo (no vácuo):
\vec{B} = \mu_0 (\vec{H} + \vec{M})
Isolando \vec{M} na segunda equação e substituindo \vec{H} da primeira, chegamos à fórmula prática para este problema:
\vec{M} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} \left( 1 - \frac{1}{\mu_r} \right)
2. Conversão de Unidades
Antes de calcular, padronizamos as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Densidade de Fluxo (B):
O enunciado fornece B = 8 a_z \text{ mWb/m}^2.
Sabendo que $1 \text{ Wb/m}^2 = 1 \text{ Tesla (T)}$ e milli (m) é $10^{-3}$:
B = 8 \times 10^{-3} \text{ T} - Permeabilidade Relativa (\mu_r):
\mu_r = 1,5
3. Aplicação Numérica
Substituímos os valores na fórmula derivada:
M = \frac{8 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7}} \left( 1 - \frac{1}{1,5} \right)
Calculando o termo entre parênteses:
1 - \frac{1}{1,5} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0,333
Calculando o primeiro termo (divisão de potências de 10):
\frac{8 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7}} = \frac{8}{4\pi} \times 10^{(-3 - (-7))} = \frac{2}{\pi} \times 10^4
Juntando tudo:
M = \left( \frac{2}{\pi} \times 10^4 \right) \times \frac{1}{3}
M = \frac{2}{3\pi} \times 10.000
Usando \pi \approx 3,14159:
M \approx \frac{20.000}{9,42477} \approx 2.122 \text{ A/m}
4. Conversão Final para kA/m
Como as alternativas estão em kA/m (quiloampère por metro), dividimos por 1.000:
M = \frac{2.122}{1.000} \text{ kA/m} = 2,122 \text{ kA/m}
O vetor mantém a direção original, indicada pelo vetor unitário a_z.
Análise das Alternativas
| Alternativa | Valor Calculado | Status |
|---|
| A | $0,103 a_z$ | Incorreto |
| B | $0,294 a_z$ | Incorreto |
| C | $1,385 a_z$ | Incorreto |
| D | $2,122 a_z$ | Correto |
| E | $3,567 a_z$ | Incorreto |
A alternativa D corresponde exatamente ao valor encontrado.