Um filamento infinito de corrente, no espaço livre, provoca no ponto P(2, 2, 7), um campo magnético H = 100 nT. Calcule a corrente necessária, na direção positiva de α, capaz de gerar este campo. Sabendo que este campo pode ser calculado por: B = (μ₀I)/(2πρ) E que no espaço livre temos: μ₀ = 4π x 10⁻⁷ T⋅m/A

Alternativa D

Para resolver esta questão de eletromagnetismo, precisamos aplicar a lei que descreve o campo magnético gerado por um condutor reto e infinito percorrido por uma corrente elétrica.

Passo 1: Entender os Dados e Geometria

O problema fornece coordenadas cartesianas para o ponto onde o campo é medido e pede para calcular a intensidade da corrente (I).

• Coordenadas do ponto P: (x, y, z) = (2, 2, 7) metros.
• Campo Magnético (B): O enunciado menciona H com unidade em Tesla (nT) e fornece a fórmula para B. Vamos considerar o módulo do campo como B = 100 \text{ nT} = 100 \times 10^{-9} \text{ T}.
• Permeabilidade do vácuo (\mu_0): $4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\cdot\text{m/A}$.

Em sistemas de coordenadas cilíndricas (usados para fios infinitos ao longo do eixo z), a distância perpendicular do fio até o ponto P é dada por \rho.

Substituindo os valores de x e y:
\rho = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}

Passo 2: Aplicar a Fórmula Física

O enunciado já nos fornece a equação para o campo magnético B gerado por um filamento infinito:

Precisamos isolar a corrente I:

Passo 3: Realizar os Cálculos

Substituímos os valores numéricos na equação rearranjada:

Vamos simplificar passo a passo:

1. Cancelar \pi: O \pi no numerador cancela com o \pi no denominador.
   I = \frac{(100 \times 10^{-9}) \cdot 2 \cdot (2\sqrt{2})}{4 \times 10^{-7}}
2. Simplificar números inteiros: Temos $2$ no numerador e $4$ no denominador. Isso resulta em \frac{1}{2}.
   I = \frac{(100 \times 10^{-9}) \cdot \sqrt{2}}{2 \times 10^{-7}}
3. Tratar potências de 10: \frac{10^{-9}}{10^{-7}} = 10^{-2}.
   I = \frac{100 \cdot \sqrt{2} \cdot 10^{-2}}{2}
4. Calcular o valor final: $100 \cdot 10^{-2} = 1$.
   I = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \quad (\text{Revisando a conta anterior})

Vamos refazer a simplificação direta para evitar erros:
I = \frac{100 \cdot 10^{-9} \cdot 2\pi \cdot 2\sqrt{2}}{4\pi \cdot 10^{-7}}
I = \left( \frac{100}{10^{-7}} \right) \cdot \left( \frac{2\pi}{4\pi} \right) \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 10^{-9}
I = (10^{11}) \cdot (0.5) \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 10^{-9}
I = 10^2 \cdot \sqrt{2} \cdot 10^{-1} \quad (\text{Espera, vamos fazer mais simples})

Cálculo direto:
Numerador: $100 \times 10^{-9} \times 2\pi \times 2\sqrt{2} = 400\sqrt{2}\pi \times 10^{-9}$
Denominador: $4\pi \times 10^{-7}$

Divisão:
I = \frac{400\sqrt{2}\pi \times 10^{-9}}{4\pi \times 10^{-7}}
I = \frac{400}{4} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{10^{-9}}{10^{-7}}
I = 100 \cdot \sqrt{2} \cdot 10^{-2}
I = 100 \cdot 10^{-2} \cdot \sqrt{2}
I = 1 \cdot \sqrt{2}
I = \sqrt{2} \text{ A}

Conclusão

A corrente necessária para gerar esse campo magnético é de \sqrt{2} Amperes.

Isso corresponde exatamente à Alternativa D.