Um gerador alternador simples, como na figura a seguir, comumente chamado de gerador C.A., é um dispositivo capaz de gerar uma f.e.m., $\varepsilon$, constituído de uma única espira retangular, de área $A$, que gira com velocidade angular $\omega$ constante, em torno de um eixo de rotação na presença de um campo magnético $\vec{B}$ uniforme e de módulo constante. Considere que, no instante inicial $t = 0$, a superfície da espira esteja alinhada perpendicularmente ao campo magnético, ou seja, em $t=0$, o ângulo de rotação é $\phi = 0$. Não se preocupe com o início do movimento de rotação. Calcule a f.e.m. induzida:

Introdução

O gerador alternador gera uma força eletromotriz (f.e.m.) induzida por meio da rotação de uma espira em um campo magnético uniforme. A f.e.m. é calculada pela Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com a tensão induzida.

Desenvolvimento

• Fluxo magnético: O fluxo \Phi através da espira é dado pelo produto escalar entre o campo magnético \vec{B} e o vetor área \vec{A} da espira. Como a espira gira, o ângulo entre \vec{B} e \vec{A} varia com o tempo.
• Condição inicial: Em t=0, a espira está perpendicular ao campo magnético, ou seja, o ângulo \theta = 0. Nesse caso, o fluxo é máximo: \Phi_0 = B A.
• Movimento rotacional: Com velocidade angular \omega constante, o ângulo \theta varia como \theta = \omega t. Portanto, o fluxo ao longo do tempo é \Phi(t) = B A \cos(\omega t).
• Lei de Faraday: A f.e.m. induzida é \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}. Derivando \Phi(t):
  \varepsilon = -\frac{d}{dt}[B A \cos(\omega t)] = -B A (-\omega \sin(\omega t)) = \omega B A \sin(\omega t)
• Módulo da f.e.m.: O sinal negativo indica a direção da corrente, mas a questão pede a expressão da f.e.m. induzida, que é \varepsilon = \omega |\vec{B}| A \sin(\omega t).

Análise

• Alternativa A: \varepsilon = |\vec{B}| A \cos(\omega t) — Incorreta, pois falta o fator \omega e usa cosseno em vez de seno.
• Alternativa B: \varepsilon = \omega |\vec{B}| A \sen(\omega t) — Correta, conforme cálculo da Lei de Faraday.
• Alternativa C: \varepsilon = |\vec{B}| A \sen(\omega t) — Incorreta, pois falta o fator \omega.
• Alternativa D: \varepsilon = -\omega A \frac{d|\vec{B}|}{dt} — Incorreta, pois o campo \vec{B} é constante, então \frac{d|\vec{B}|}{dt} = 0.
• Alternativa E: \varepsilon = \omega |\vec{B}| A \cos(\omega t) — Incorreta, pois a derivada do cosseno é seno, não cosseno.

Conclusão

A f.e.m. induzida no gerador alternador é proporcional à velocidade angular, à área da espira e ao módulo do campo magnético, variando como o seno do ângulo de rotação. A resposta correta é a alternativa B.