Uma carga pontual de 30 nC está localizada na Origem. Enquanto um plano infinito de cargas se encontra em y = 3 e possui uma densidade superficial de cargas dada por 10 nC/m². Encontre a densidade de cargas D no ponto P(0, 4, 3).

Alternativa B

O problema solicita o cálculo do vetor de densidade de fluxo elétrico (\mathbf{D}) em um ponto específico devido à superposição de dois campos gerados por fontes distintas: uma carga pontual e um plano infinito carregado.

A solução baseia-se no Princípio da Superposição, onde o campo total é a soma vetorial dos campos individuais de cada fonte.

Análise Detalhada

1. Contribuição da Carga Pontual (\mathbf{D}_1)

A carga pontual Q = 30 \text{ nC} está na origem (0,0,0). O ponto de observação é P(0, 4, 3).

• Distância (R):
  R = \sqrt{(0)^2 + (4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}
• Vetor Unitário (\mathbf{a}_R):
  Vetor posição \mathbf{r} = 0\mathbf{a}_x + 4\mathbf{a}_y + 3\mathbf{a}_z.
  \mathbf{a}_R = \frac{\mathbf{r}}{R} = \frac{4\mathbf{a}_y + 3\mathbf{a}_z}{5} = 0,8\mathbf{a}_y + 0,6\mathbf{a}_z
• Cálculo do Campo (\mathbf{D}_1):
  Usando a fórmula para carga pontual:
  \mathbf{D}_1 = \frac{Q}{4\pi R^2} \mathbf{a}_R
  \mathbf{D}_1 = \frac{30 \times 10^{-9}}{4\pi (5^2)} (0,8\mathbf{a}_y + 0,6\mathbf{a}_z)
  \mathbf{D}_1 = \frac{30}{100\pi} \times 10^{-9} (0,8\mathbf{a}_y + 0,6\mathbf{a}_z) \text{ C/m}^2
  \mathbf{D}_1 \approx 0,0955 \times 10^{-9} (0,8\mathbf{a}_y + 0,6\mathbf{a}_z) \text{ C/m}^2
  Convertendo para \text{nC/m}^2:
  \mathbf{D}_1 \approx 0,0764 \mathbf{a}_y + 0,0573 \mathbf{a}_z \text{ nC/m}^2

2. Contribuição do Plano Infinito (\mathbf{D}_2)

O plano está em y = 3 com densidade superficial \rho_s = 10 \text{ nC/m}^2. O ponto P tem coordenada y = 4.

• Módulo: Para um plano infinito, a densidade de fluxo é constante:
  |\mathbf{D}_2| = \frac{\rho_s}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ nC/m}^2
• Direção: Como a carga é positiva e o ponto P (y=4) está acima do plano (y=3), o campo aponta na direção positiva do eixo Y (+\mathbf{a}_y).
  \mathbf{D}_2 = 5 \mathbf{a}_y \text{ nC/m}^2

3. Campo Total (\mathbf{D}_{total})

Somamos os vetores componente a componente:

• Componente Y: $5 (\text{plano}) + 0,0764 (\text{ponto}) = 5,0764 \text{ nC/m}^2$
• Componente Z: $0 (\text{plano}) + 0,0573 (\text{ponto}) = 0,0573 \text{ nC/m}^2$

O resultado final é:
\mathbf{D}_{total} \approx 5,076 \mathbf{a}_y + 0,057 \mathbf{a}_z \text{ nC/m}^2

Isso corresponde exatamente à Alternativa B.