Use o método das tensões de nó para determinar $i_o$ no circuito da Figura P4.22.

Análise da Questão

O problema solicita o uso do Método das Tensões de Nó (Análise Nodal) para encontrar a corrente i_o no resistor central de $10 \, \Omega$. Como não há opções de múltipla escolha fornecidas na imagem, trata-se de uma questão aberta de cálculo.

Resumo da Resposta: A corrente i_o calculada para o circuito é de 1 A.

Desenvolvimento Didático

Para resolver este circuito utilizando o método nodal, precisamos definir os potenciais elétricos nos nós desconhecidos e aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC).

1. Definição dos Nós e Referências

• Nó de Referência (Terra): Escolhemos o nó inferior conectado ao terminal negativo da fonte como referência ($0 \text{ V}$).
• Nó Superior: Conectado ao terminal positivo da fonte de $80 \text{ V}$. Portanto, sua tensão é fixa em $80 \text{ V}$.
• Nó Esquerdo (V_L): Intersecção entre os resistores de $5 \, \Omega$, $70 \, \Omega$ e $10 \, \Omega$. É uma incógnita.
• Nó Direito (V_R): Intersecção entre os resistores de $5 \, \Omega$, $12 \, \Omega$ e $10 \, \Omega$. É uma incógnita.

2. Aplicação da Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC)

A soma das correntes que saem de um nó deve ser igual a zero. Usamos a forma \sum \frac{V_{nó} - V_{vizinho}}{R} = 0.

Para o Nó Esquerdo (V_L):
\frac{V_L - 80}{5} + \frac{V_L - 0}{70} + \frac{V_L - V_R}{10} = 0

Multiplicando por 70 para simplificar:
14(V_L - 80) + V_L + 7(V_L - V_R) = 0
14V_L - 1120 + V_L + 7V_L - 7V_R = 0
22V_L - 7V_R = 1120 \quad \text{(Equação 1)}

Para o Nó Direito (V_R):
\frac{V_R - 80}{5} + \frac{V_R - 0}{12} + \frac{V_R - V_L}{10} = 0

Multiplicando por 60 (mínimo múltiplo comum de 5, 12 e 10):
12(V_R - 80) + 5V_R + 6(V_R - V_L) = 0
12V_R - 960 + 5V_R + 6V_R - 6V_L = 0
-6V_L + 23V_R = 960 \quad \text{(Equação 2)}

3. Resolução do Sistema Linear

Temos o seguinte sistema:

1. $22V_L - 7V_R = 1120$
2. -6V_L + 23V_R = 960

Isolando V_L na equação 2 (multiplicada por algo para eliminar V_L na eq 1):
Multiplicamos a Eq. 1 por 3 e a Eq. 2 por 11 para cancelar os termos em V_L ao somar:

• $3 \times (22V_L - 7V_R) = 3 \times 1120 \Rightarrow 66V_L - 21V_R = 3360$
• $11 \times (-6V_L + 23V_R) = 11 \times 960 \Rightarrow -66V_L + 253V_R = 10560$

Somando as duas novas equações:
232V_R = 13920
V_R = \frac{13920}{232} = 60 \text{ V}

Substituindo V_R = 60 \text{ V} na Eq. 2 para achar V_L:
-6V_L + 23(60) = 960
-6V_L + 1380 = 960
6V_L = 420
V_L = 70 \text{ V}

4. Cálculo da Corrente i_o

A corrente i_o flui do nó esquerdo (V_L) para o nó direito (V_R) através do resistor de $10 \, \Omega$. Pela Lei de Ohm:

Conclusão

A aplicação do método das tensões de nó permite determinar os potenciais nos nós intermediários ($70 \text{ V}$ e $60 \text{ V}), resultando em uma diferença de potencial de $10 \text{ V} sobre o resistor central.

Resposta Final: A corrente i_o é igual a 1 A.