Considere um sistema formado por um bloco e um disco. O bloco B tem massa 10 kg e desce com velocidade linear 1 m/s. O disco giratório tem 10 kg, raio 10 cm. A energia cinética total do sistema é de 20 J. Determine a velocidade angular do disco em radianos/segundo.

Alternativa A - 24,5

Introdução

A energia cinética total de um sistema composto por um bloco em movimento translational e um disco em rotação é a soma das energias cinéticas de cada componente.

Desenvolvimento

A energia cinética total do sistema é dada por:
E_{\text{total}} = E_{\text{translacional}} + E_{\text{rotacional}}

• Energia cinética translational do bloco:
  A fórmula é E_{\text{translacional}} = \frac{1}{2}mv^2. Com m = 10\ \text{kg} e v = 1\ \text{m/s}:
  E_{\text{translacional}} = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5\ \text{J}
• Energia cinética rotacional do disco:
  A energia cinética rotacional de um objeto rígido é E_{\text{rotacional}} = \frac{1}{2}I\omega^2, onde I é o momento de inércia e \omega é a velocidade angular.
  O momento de inércia de um disco sólido (padrão assumido) é I = \frac{1}{2}MR^2. Com M = 10\ \text{kg} e R = 0,1\ \text{m}:
  I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0,1)^2 = 0,05\ \text{kg·m}^2

A energia cinética total é $20\ \text{J}$, então:
20 = 5 + \frac{1}{2} \times 0,05 \times \omega^2
Isolando E_{\text{rotacional}}:
E_{\text{rotacional}} = 15\ \text{J}

Substituindo na fórmula da energia rotacional:
15 = \frac{1}{2} \times 0,05 \times \omega^2
Resolvendo para \omega:
\omega^2 = \frac{15 \times 2}{0,05} = 600 \implies \omega \approx \sqrt{600} \approx 24,5\ \text{rad/s}

Conclusão

A velocidade angular do disco é aproximadamente 24,5 radianos por segundo.

Alternativa A.