Determine a força no elemento BD da treliça plana abaixo, sabendo que a carga W na treliça é de 7900 N. A distância entre os pontos A e C é de 50 m e os ângulos são de 30°.

Resumo da Resposta

A força no elemento BD é de aproximadamente 13.683 N (ou 13,7 kN). Este valor é obtido aplicando o método das seções e utilizando o equilíbrio de momentos em relação ao nó C, considerando a geometria triangular da treliça e a distribuição simétrica da carga.

Análise Detalhada

Para determinar a força no elemento BD, utilizaremos o Método das Seções, que permite analisar o equilíbrio de uma parte da estrutura isolada.

1. Geometria da Treliça

Primeiro, precisamos determinar a altura da treliça (h) para calcular o braço de alavanca da força na barra BD.

• Base do triângulo ABC: A distância entre os pontos A e C é dada como $50$ m.
• Ângulos: Os ângulos na base são de $30^\circ$ (triângulo isósceles).
• Projeção: O vértice B projeta-se exatamente no meio da base AC.
• Cálculo da Altura (h):
  h = 25 \cdot \tan(30^\circ)
  Sabendo que \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577:
  h \approx 14,43 \text{ m}

2. Reações de Apoio

Considerando a simetria da estrutura e da carga aplicada no centro (nó C):

• A carga total W = 7900 N é distribuída igualmente entre os apoios laterais.
• Reação vertical no apoio A (R_A):
  R_A = \frac{W}{2} = \frac{7900}{2} = 3950 \text{ N}

3. Método das Seções

Realizamos um corte vertical imaginário passando pelas barras BD, BC e AC. Isolamos a parte esquerda da treliça (nós A e B) para aplicar as equações de equilíbrio.

• Ponto de Soma de Momentos: Escolhemos o nó C como ponto de referência para somar os momentos (\sum M_C = 0). Isso elimina as forças nas barras BC e AC, pois suas linhas de ação passam diretamente por C (braço de alavanca nulo).
• Equilíbrio de Momentos:
• A reação R_A gera um momento horário: M_{RA} = R_A \cdot 50.
• A força na barra BD (F_{BD}) gera um momento anti-horário (resistência): M_{BD} = F_{BD} \cdot h.
• Igualando as magnitudes:
  R_A \cdot 50 = F_{BD} \cdot h

4. Cálculo Final

Substituimos os valores conhecidos na equação de equilíbrio:

Isolando F_{BD}:

Como \frac{1}{\tan(30^\circ)} = \sqrt{3} \approx 1,732:

Alternativa correta: A força no elemento BD é de 13.683 N (Tração).