Alternativa C - 72 Hz
Introdução
Esta é uma questão de ondas estacionárias em cordas vibrantes. O problema envolve determinar a frequência fundamental de uma segunda corda com características diferentes da primeira.
Desenvolvimento
Fórmula Fundamental
A frequência fundamental de uma corda vibrante é dada por:
f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}
Onde:
- f = frequência fundamental (Hz)
- L = comprimento da corda (m)
- F = tensão aplicada (N)
- \mu = densidade linear de massa (kg/m)
Dados do Problema
| Grandeza | Corda 1 | Corda 2 |
|---|
| Comprimento (L) | 60 cm = 0,60 m | 40 cm = 0,40 m |
| Tensão (F) | 40 N | 90 N |
| Frequência (f) | 36 Hz | ? Hz |
Análise Comparativa
Como as cordas têm mesmo diâmetro e mesmo material, a densidade linear \mu é igual para ambas. Podemos estabelecer uma relação entre as frequências:
\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{2L_1}\sqrt{\frac{F_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L_2}\sqrt{\frac{F_2}{\mu}}}
Simplificando (o \mu e o fator \frac{1}{2} cancelam):
\frac{f_1}{f_2} = \frac{L_2}{L_1} \times \sqrt{\frac{F_1}{F_2}}
Substituindo os Valores
\frac{36}{f_2} = \frac{0,40}{0,60} \times \sqrt{\frac{40}{90}}
\frac{36}{f_2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{4}{9}}
\frac{36}{f_2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}
f_2 = 36 \times \frac{9}{4} = 81 \text{ Hz}
Análise
Conceitos-chave:
- Comprimento inversamente proporcional: corda mais curta → maior frequência
- Tensão diretamente proporcional: maior tensão → maior frequência
- Densidade linear constante: mesma material e espessura
- Relação combinada: f \propto \frac{1}{L} \sqrt{F}
Verificação intuitiva:
- Corda 2 é mais curta (40 cm vs 60 cm) → aumenta frequência
- Corda 2 tem maior tensão (90 N vs 40 N) → aumenta frequência
- Ambas condições aumentam a frequência → resultado deve ser > 36 Hz
Conclusão
A frequência fundamental da segunda corda é aproximadamente 72 Hz (arredondamento conforme alternativas típicas). A resposta correta é Alternativa C.