Encontre o trabalho realizado por um objeto que percorre a elipse 25x² + 4y² = 100 no sentido anti-horário que se encontra submetida à força F(x, y) = (-y, x)

Esta questão envolve o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva fechada. Como a trajetória é uma elipse fechada com orientação positiva (anti-horário), a solução mais eficiente utiliza o Teorema de Green.

Análise Matemática

O trabalho W é definido como a integral de linha do campo de força \vec{F} ao longo da curva C:
W = \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_C (P dx + Q dy)

1. Identificação dos componentes do campo vetorial
Dado \vec{F}(x, y) = (-y, x), temos:

• P(x, y) = -y
• Q(x, y) = x

2. Aplicação do Teorema de Green
O teorema converte a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada pela curva:
\oint_C (P dx + Q dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA

Calculando as derivadas parciais:

• \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1
• \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1

Substituindo na fórmula:
\text{Integrando} = 1 - (-1) = 2

Portanto, o trabalho torna-se:
W = \iint_D 2 \, dA = 2 \iint_D dA

3. Cálculo da Área da Elipse
A integral dupla \iint_D dA representa a área da região interna da elipse.
A equação dada é $25x^2 + 4y^2 = 100$. Colocando na forma padrão \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1:
\frac{25x^2}{100} + \frac{4y^2}{100} = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1

Identificamos os semieixos:

• a^2 = 4 \Rightarrow a = 2
• b^2 = 25 \Rightarrow b = 5

A área de uma elipse é dada por A = \pi \cdot a \cdot b:
A = \pi \cdot 2 \cdot 5 = 10\pi

4. Resultado Final
Substituindo a área no cálculo do trabalho:
W = 2 \cdot (10\pi) = 20\pi

Conclusão

O trabalho realizado pelo objeto ao percorrer a elipse é igual a $20\pi$.

Como as alternativas específicas não aparecem na imagem fornecida, você deve procurar a opção que contém este valor numérico ou sua aproximação decimal (\approx 62,83).