Engenheiros civis desenvolvendo modelos em escala reduzida para auxiliar na escolha dos materiais que serão utilizados em uma nova ponte. Um dos testes envolve o uso de uma barra composta, formada por dois materiais diferentes. Essa barra será responsável por suportar cargas simétricas na estrutura final da ponte. Para garantir que a escolha dos materiais assegure o equilíbrio e a estabilidade da estrutura, é necessário que a barra composta permaneça em equilíbrio quando apoiada em sua junção. No modelo reduzido, as barras são pré-moldadas com base quadrada de lado 0,1 m e comprimentos indicados na imagem. A barra A, já testada, possui densidade de 2 000 kg/m³. Para que o modelo da barra composta se mantenha equilibrado durante os testes e atenda aos critérios de segurança, qual deverá ser a densidade da barra B, em kg/m³?

Resolução da Questão sobre Estática e Densidade

O valor calculado para a densidade da barra B é de 4.500 kg/m³.

O problema envolve princípios de estática, especificamente o equilíbrio de corpos rígidos sob a ação de forças gravitacionais. Para que a barra composta permaneça em equilíbrio quando apoiada em sua junção, o momento das forças (torque) gerado pelo peso da barra A deve ser igual ao momento gerado pelo peso da barra B em relação ao ponto de apoio.

Análise Detalhada

Para resolver este problema, precisamos determinar a massa de cada seção e a distância do centro de gravidade de cada uma até o ponto de apoio (alavanca). O equilíbrio ocorre quando a soma dos momentos é nula.

• Geometria e Volume:
  As barras possuem base quadrada de lado $0,1 \text{ m}. A área da seção transversal ($S) é constante para ambas:
  S = 0,1 \text{ m} \times 0,1 \text{ m} = 0,01 \text{ m}^2

Os volumes são calculados multiplicando a área pela extensão de cada barra:

• Volume da barra A (V_A): S \times 3 \text{ m} = 0,03 \text{ m}^3
• Volume da barra B (V_B): S \times 2 \text{ m} = 0,02 \text{ m}^3
• Massa e Peso:
  A massa (m) é dada pelo produto da densidade (\rho) pelo volume (V).
• Massa da barra A (m_A): \rho_A \times V_A = 2000 \text{ kg/m}^3 \times 0,03 \text{ m}^3 = 60 \text{ kg}
• Massa da barra B (m_B): \rho_B \times V_B = \rho_B \times 0,02 \text{ m}^3

O peso (P) é a força da gravidade atuando sobre a massa: P = m \times g.

• Centro de Gravidade e Braço de Alavanca:
  Como as barras são homogêneas, seu centro de gravidade está no ponto médio de seu comprimento. O ponto de apoio está na junção.
• Distância do apoio ao centro da barra A (d_A): $3 \text{ m} / 2 = 1,5 \text{ m}$
• Distância do apoio ao centro da barra B (d_B): $2 \text{ m} / 2 = 1,0 \text{ m}$
• Condição de Equilíbrio (Momento):
  Para o sistema não girar, o momento gerado pela esquerda deve equilibrar o momento da direita:
  P_A \times d_A = P_B \times d_B
  Substituindo P = m \times g:
  m_A \times g \times d_A = m_B \times g \times d_B
  O termo g (aceleração da gravidade) cancela-se da equação:
  m_A \times d_A = m_B \times d_B

Cálculo Final

Substituindo os valores conhecidos na equação de equilíbrio:

Isolando \rho_B:

Portanto, a densidade da barra B deve ser 4.500 kg/m³.