No brinquedo mostrado na figura, um carrinho é solto, a partir do repouso, de uma altura H em relação ao solo horizontal, desce pela pista até o solo, passa pelo looping de raio R = 10 cm, salta sobre um vão e cai sobre uma rampa. Considerando que g = 10 m/s², que a base do looping está apoiada no solo, que o carrinho passa pelo ponto mais alto desse looping com velocidade de 4,0 m/s e que não ocorre dissipação de energia mecânica durante o movimento do carrinho, a altura H é igual a

Alternativa E

O problema envolve o princípio da conservação da energia mecânica em um sistema conservativo (sem dissipação de energia). Para encontrar a altura inicial H, devemos igualar a energia mecânica no ponto de partida com a energia mecânica no ponto mais alto do looping.

Princípio Físico Aplicado

Como não há dissipação de energia, a soma da energia cinética (E_c) e da energia potencial gravitacional (E_p) permanece constante ao longo do trajeto.

Isso nos permite escrever a equação de conservação entre dois pontos:

1. Ponto Inicial: O carrinho parte do repouso na altura H.
2. Ponto Final: O carrinho está no topo do looping, com velocidade conhecida e altura definida pelo diâmetro do círculo.

Cálculo Passo a Passo

Vamos definir os dados fornecidos no enunciado:

• Aceleração da gravidade: g = 10 \, \text{m/s}^2
• Velocidade no topo do looping: v = 4,0 \, \text{m/s}
• Raio do looping: R = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m}
• Altura do topo do looping: Como a base está no solo, a altura máxima é o diâmetro, ou seja, $2R$.

1. Energia no Ponto Inicial (Altura H):
O carrinho está parado (v=0), então sua energia é apenas potencial.
E_{inicial} = E_{p} = m \cdot g \cdot H

2. Energia no Topo do Looping (Altura 2R):
O carrinho tem velocidade e está a uma altura $2R$.
E_{final} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot (2R)

3. Igualando as energias:
m \cdot g \cdot H = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot (2R)

Podemos cancelar a massa (m) dos dois lados da equação e isolamos H:
g \cdot H = \frac{v^2}{2} + g \cdot (2R)
H = \frac{v^2}{2g} + 2R

4. Substituindo os valores numéricos:
H = \frac{(4,0)^2}{2 \cdot 10} + 2 \cdot 0,1
H = \frac{16}{20} + 0,2
H = 0,8 + 0,2
H = 1,0 \, \text{m}

Portanto, a altura inicial H deve ser de 1,0 metro.

Conclusão

A alternativa correta é a (E) 1,0 m, pois é o único valor que satisfaz a equação de conservação de energia considerando a conversão de energia potencial inicial em energia cinética e potencial no ponto mais alto do circuito.